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はてなキーワード: additiveとは
午前7時。起床。日曜日なので朝食はフレンチトースト、紅茶、ゆで卵。
曜日ごとに朝食を固定している。これは強迫観念ではない。周期境界条件である。
ルームメイトは以前、「日曜日くらい気分で決めればいい」と言った。
気分とは、制御不能な内部自由度に意思決定を委譲することだ。却下した。
今日も one-loop p-adic string theory。
正確には、Schottky uniformization された Bruhat–Tits quotient geometry と Tate elliptic curve 上の arithmetic Green theory、それを thermal p-adic AdS/CFT の holographic dictionary とどう統合するかを考えている。
tree-level p-adic string では、非アルキメデス局所体に付随する Bruhat–Tits tree を worldsheet geometry とみなし、その graph Laplacian と boundary 側の Vladimirov-type pseudo-differential structure を対応させる。
しかし genus one では、単なる regular tree では足りない。rank-one Schottky subgroup で quotient を取り、閉じた geodesic を持つ graph geometry に移行する。
その conformal boundary に現れるのが Tate curve だ。ここから突然、string theory が arithmetic geometry に侵入する。
bulk degrees of freedom を integrate out して induced boundary action を作ると、Tate curve 上に nonlocal pseudo-differential operator が得られる。
その Green kernel が Néron–Tate local height と一致する。
つまり、one-loop p-adic string の propagator と、楕円曲線の arithmetic intersection theory で使われてきた local height が同じ対象になる。
さらに spectral side を見る。
Tate curve 上の induced operator は character decomposition によって diagonalize でき、非自明な spectral gap を持ち、高エネルギー領域では two-dimensional Laplace-type Weyl asymptotics を示す。
ここが重要だ。microscopic geometry は locally finite ultrametric tree である。
smooth Riemann surface ではない。それでも spectrum の漸近構造には二次元 worldsheet の dimensional signature が残る。
つまり continuum worldsheet geometry を捨てたはずなのに、spectral data の中から continuum-like dimensionality が戻ってくる。
finite-temperature quotient を取った non-Archimedean holographic geometry の boundary も Tate curve として理解できる。
そこで boundary primary operator の thermal two-point function を scaling dimension の特殊極限に analytic continuation し、universal divergence を renormalize すると、finite part から再び Néron–Tate local height が現れる。
しかも単に Green function の singularity structure が一致するだけではない。
arithmetic normalization に対応する additive information まで holographic correlator が保持している。
したがって現在、one-loop p-adic string worldsheet、thermal p-adic holography、Tate elliptic curve の arithmetic intersection theoryという三つの領域が、同じ local height data を共有している。
これを理解するには string perturbation theory、non-Archimedean harmonic analysis、rigid analytic geometry、elliptic uniformization、local heights、Bruhat–Tits theory を同時に扱う必要がある。
午後1時。日曜日なので昼食は同じ店の同じ席。隣人が偶然同じ店にいた。
「かわいそう」
午後2時16分。研究再開。
問題は partition function である。固定された Schottky quotient 上で one-loop determinant を計算するだけなら、かなり理解が進んでいる。
しかし quantum gravity と呼びたいなら固定 geometry では不十分だ。
modulus の異なる quotient graph、closed geodesic length の異なる worldsheet、さらにはより一般の Schottky data を持つ non-Archimedean geometry 全体に対して sum over geometries を構成する必要がある。
つまり本当の問題は、どの moduli measure が自然なのかということだ。
ad hoc な measure を導入することは簡単だ。そのあと理由を考えるのも簡単だ。
そしてそれを「第一原理」と呼ぶことすらできる。人類はそういうことを何度もしてきた。僕はしたくない。
さらに genus を上げれば Tate curve ではなく Mumford curve が自然に出てくる。
そうなると rank-one Schottky group の比較的単純な quotient graph では済まず、高 genus Schottky uniformization、skeleton geometry、Berkovich analytic space、tropical degeneration、arithmetic Green function の相互作用を理解しなければならない。
ここで one-loop の local-height correspondence が higher genus でも Arakelov-type data として残るのか。
次は bulk geometry の一般化。
standard p-adic AdS/CFT では PGL(2) の Bruhat–Tits tree を使う。
regular tree なので、vertex valency は一様で、bulk propagator は radial variable だけでかなり整理できる。
そこで SU(3) に由来する biregular Bruhat–Tits geometry を考える。
unramified quadratic extension に付随する building では、二種類の vertex が交互に現れ、bulk は semihomogeneous tree になる。
これにより scalar propagation は単純な radial eigenmode problem ではなくなり、vertex type、parity sector、local branching data が propagator に入る。
さらに boundary three-point function には、三本の geodesic が合流する branching vertex の homogeneity class が残る。
つまり boundary OPE data が bulk sublattice information を完全には忘れない。
これは holography 的にはかなり重要だ。
通常の AdS/CFT では bulk locality が boundary conformal data にどう符号化されるかを議論する。
non-Archimedean holography では、それに加えて local-field arithmetic と building combinatorics が boundary operator algebra にどう埋め込まれるかを問える。
そして OPE structure の中に local zeta data まで出てくる。
ここまで来ると「p-adic AdS/CFT は toy model」という表現はかなり乱暴だ。
toy model にしては、reductive groups over local fields、Bruhat–Tits buildings、representation-theoretic harmonic analysis、local zeta functions、rigid analytic spaces、tensor-network reconstruction、arithmetic geometry が一つの部屋に集まりすぎている。
p-adic CFT の correlator structure は Bruhat–Tits tree 上の tensor network によって再構成できる。
さらに CFT fixed point を deformation すると、tensor data から emergent edge geometry を読み取り、その consistency condition から graph Einstein dynamics に相当する方程式が現れる。
ここが今日の核心。僕が知りたいのは、Schottky quotient sector に現れる arithmetic Green data、Tate/Mumford curve の local height structure、tensor-network sector に現れる emergent graph gravity、biregular building で現れるnonuniform bulk geometryを、一つの non-Archimedean quantum geometry として記述できるかどうかだ。
言い換えれば、現在バラバラに見えるp-adic string perturbation theory、arithmetic intersection theory、discrete holography、tensor-network gravity、Bruhat–Tits building geometryが、実は同一の categorical あるいは spectral-arithmetic structure の異なる realization なのではないか。
ここから先は論文を検索しても答えは出てこない。検索結果が終わるところから研究が始まる。
午後6時12分。隣人が部屋に来た。
モニターを見て言った。
「また木？」
「これは biregular Bruhat–Tits building の rank-one skeleton だ」
「木でしょ」
「君は人体を肉と呼ぶのか？」
「呼ぶことあるよ」
議論を打ち切った。
午後7時。友人Aが来た。
「その p進弦理論って、宇宙がシミュレーションだって証明できる？」
できない。なぜ工学系の人間は高度な数理物理を渡すと、最終的にシミュレーション宇宙かタイムマシンか兵器の三択に収束するのだろう。
友人Bは Mumford curve と Tate curve の違いを聞いてきた。まともな質問だったので23分説明した。18分目から目が死んでいた。
宇宙船がワームホールに入った直後、登場人物が「量子情報だから時空の制約を受けない」と発言。
停止。
ノートを開く。no-signalling、entanglement entropy、causal structure の三点から誤りを整理する。
再生。
今度はブラックホールの event horizon 内部からリアルタイム通信を始めた。
再停止。
https://www.youtube.com/watch?v=Qp9PL4EbWi4
@Musicombo
I DM'd Shogo Sakai on Twitter asking about the meter of Strong One recently, and he told me he was thinking of Strong One in terms of additive time signatures: 3/4 + 3/8 + 1/4 + 1.5/4 (spicy!)
It makes sense when you're focusing on the pulses in the combos driving the time signatures by themselves, but it also affirms the idea that Shogo Sakai was thinking about decently "regular"/"clean" meters, and therefore 15/8 and 29/16 kinda fit those conventional vibes.
For even more context by the way, the mp2k/Sappy sound engine -- the engine sent out to GBA devs by Nintendo which was used for Gen. III Pokémon and MOTHER 3 -- has a tempo "resolution" of 2 BPM, meaning the next smallest tempo change above 120 BPM Sappy supports is 122 BPM, not 121 BPM.
Also, excellent job accounting for the 3:5 16ths tuplet at the end of (Masked Man)
