はじめに

　『Pythonで学ぶ空間データサイエンス入門』の独学時のまとめノートです。「定義編・導出編」「実装編・作図編」「可視化編」の三部構成でモデルやアルゴリズムの理解を目指します。
　本の内容から寄り道・回り道しながら進めます。本を読んだ上で補助的に読んでください。

　この記事では、境界の共有による空間隣接行列の定義について、数式を使って解説します。

【他の内容】

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【今回の内容】

2.1 空間隣接行列の定義式：境界の共有

　空間隣接行列(spatial adjacency matrix)の定義(仮定)を数式で確認します。この記事では、境界を共有している(実際に隣接している・contiguity)かにより隣接関係(adjacency relationship)を設定します。

モデルの設定

　空間隣接行列の定義(仮定)を数式で確認します。

定義式

　空間隣接行列やその要素などの表記を確認します。

　区域数を $N$ 、区域番号(インデックス)を $n \in \{1, 2, \dots, N\}$ とします。 $n$ 番目の区域や区域 $n$ と呼びます。場合によっては、 $i, j$ などでも区域を表します。

　区域 $i$ と区域 $j$ の隣接関係を $w_{ij}$ とします。
　2つの区域 $i, j$ が隣接していない(隣接関係がない)場合は $w_{ij} = 0$ 、隣接している(隣接関係がある)場合は $w_{ij} = 1$ として、隣接関係を2値で表します。

$\displaystyle w_{ij} \in \{0, 1\}$

　区域 $n$ 自体(同じ区域の組み合わせの場合)は隣接関係がない $w_{nn} = 0$ とします。
　区域 $i$ に関する $N$ 個の区域との隣接関係をまとめて、区域 $i$ に関する隣接関係 $\mathbf{w}_i$ とします。

$\displaystyle \mathbf{w}_i = \begin{pmatrix} w_{i1} & w_{i2} & \cdots & w_{iN} \end{pmatrix}$

　 $N$ 個の区域に関する隣接関係をまとめて、空間隣接行列 $\mathbf{W}$ とします。

$\displaystyle \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 \\ \mathbf{w}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{w}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1N} \\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{N1} & w_{N2} & \cdots & w_{NN} \end{pmatrix}$

　2つの区域が入れ替わっても隣接関係は変わらない $w_{ij} = w_{ji}$ ので、 $\mathbf{W}$ は対称行列 $\mathbf{W} = \mathbf{W}^{\top}$ です。ただし、k近傍法により隣接関係を決める場合は、対称行列にならないこともあります。
　対角要素は、同じ区域の組み合わせの隣接関係なので、 $w_{nn} = 0$ です。