Modelul cu opt vârfuri

În mecanica statistică, modelul cu opt vârfuri este o generalizare a modelului de tip gheață (sau modelului cu șase vârfuri). Acesta a fost studiat de T. Bill Sutherland^⁠(d) și de C. Fan și F. Y. Wu, iar cazul fără câmp a fost rezolvat de Rodney Baxter^⁠(d).

Descriere

La fel ca în modelele de tip gheață, modelul cu opt vârfuri este un model pe rețea pătrată, în care fiecare stare este o configurație de săgeți la un vârf. Vârfurile permise au un număr par de săgeți orientate spre vârf; acestea includ cele șase moștenite din modelul de tip gheață (1–6), precum și „puțurile” (7) și „sursele” (8).

Cele opt tipuri de vârfuri permise.

Se consideră o rețea $N\times N$, cu $N^{2}$ vârfuri și $2N^{2}$ muchii. Impunerea condițiilor la frontieră periodice^⁠(d) impune ca stările 7 și 8 să apară la fel de frecvent, la fel ca stările 5 și 6, astfel încât se poate considera că au aceeași energie. În cazul fără câmp, același lucru este valabil și pentru celelalte două perechi de stări. Fiecărui vârf $j$ îi este asociată o energie $\epsilon _{j}$ și un factor Boltzmann^⁠(d)

$w_{j}=\exp \left(-{\frac {\epsilon _{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)$

ceea ce conduce la funcția de partiție^⁠(d) a rețelei

$Z=\sum \exp \left(-{\frac {\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right),$

unde suma exterioară se face peste toate configurațiile permise ale vârfurilor din rețea. În această formă generală, funcția de partiție rămâne nerezolvată.

Soluția în cazul fără câmp

Cazul fără câmp al modelului corespunde fizic absenței unui câmp electric extern. Prin urmare, modelul rămâne invariant la inversarea tuturor săgeților. În consecință, stările 1 și 2, respectiv 3 și 4, trebuie să apară în perechi. Vârfurilor li se pot atribui ponderi arbitrare

${\begin{aligned}w_{1}=w_{2}&=a\\w_{3}=w_{4}&=b\\w_{5}=w_{6}&=c\\w_{7}=w_{8}&=d.\end{aligned}}$

Soluția se bazează pe observația că liniile din metoda matricei de transfer comută pentru o anumită parametrizare a acestor patru ponderi Boltzmann. Aceasta rezultă dintr-o modificare a unei soluții alternative pentru modelul cu șase vârfuri care utilizează funcții theta eliptice^⁠(d).

Matrici de transfer care comută

Demonstrația se bazează pe faptul că atunci când $\Delta '=\Delta$ și $\Gamma '=\Gamma$, pentru mărimile

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}\\\Gamma &={\frac {ab-cd}{ab+cd}},\end{aligned}}$

matricile de transfer $T$ și $T'$ (asociate ponderilor $a,b,c,d$ și $a',b',c',d'$) comută. Folosind relația stea–triunghi^⁠(d), Baxter a reformulat această condiție ca fiind echivalentă cu o parametrizare a ponderilor

$a:b:c:d=\operatorname {snh} (\eta -u):\operatorname {snh} (\eta +u):\operatorname {snh} (2\eta ):k\operatorname {snh} (2\eta )\operatorname {snh} (\eta -u)\operatorname {snh} (\eta +u)$

pentru modulul fix $k$ și $\eta$ și parametrul variabil $u$. Aici $\operatorname {snh}$ este analogul hiperbolic al funcției $\operatorname {sn}$.

Funcția matricială $Q(u)$

O altă parte esențială a soluției este existența unei funcții matriciale nesingulare $Q$, astfel încât pentru orice $u$ complex matricile $Q(u)$, $Q(u')$ comută între ele și cu matricile de transfer și satisfac relația

$\zeta (u)T(u)Q(u)=\phi (u-\eta )Q(u+2\eta )+\phi (u+\eta )Q(u-2\eta ).$

Soluția explicită

Comutativitatea matricilor permite diagonalizarea^⁠(d) lor și determinarea valorilor proprii. Funcția de partiție se calculează din valoarea proprie maximă, ceea ce conduce la o energie liberă pe nod

$f=\epsilon _{5}-2kT\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh ^{2}((\tau -\lambda )n)(\cosh(n\lambda )-\cosh(n\alpha ))}{n\sinh(2n\tau )\cosh(n\lambda )}}.$

Modelul cu opt vârfuri a fost de asemenea rezolvat în cazul cvasicristalelor^⁠(d).

Echivalența cu modelul Ising

Există o corespondență naturală între modelul cu opt vârfuri și modelul Ising cu interacțiuni între doi și patru spini vecini. Stările acestui model sunt spini $\sigma =\pm 1$ situați pe fețele unei rețele pătrate.

Cea mai generală formă a energiei este

$\epsilon =-\sum _{ij}(J_{h}\mu _{ij}+J_{v}\alpha _{ij}+J\alpha _{ij}\mu _{ij}+J'\alpha _{i+1,j}\mu _{ij}+J''\alpha _{ij}\alpha _{i+1,j}),$

unde $J_{h}$, $J_{v}$, $J$ și $J'$ descriu interacțiunile între doi spini, iar $J''$ interacțiunea între patru spini.

Din relațiile dintre energiile vârfurilor rezultă echivalența

$Z_{I}=2Z_{8V}$

între funcțiile de partiție ale modelului Ising și ale modelului cu opt vârfuri. Prin urmare, rezolvarea unuia dintre modele conduce imediat la rezolvarea celuilalt.

Bibliografie

• en Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578, arhivat din original (PDF) la 14 aprilie 2021, accesat în 12 august 2012 

Vezi și

• Model de tip gheață
• Metoda matricei de transfer
• Modelul Ising