Modelul Ising

Modelul Ising (sau modelul Lenz–Ising), numit după fizicienii Ernst Ising^⁠(d) și Wilhelm Lenz, este un model matematic al feromagnetismului în mecanica statistică. Modelul constă din variabile discrete^⁠(d) care reprezintă momentele magnetice dipolare ale „spinurilor” atomice, fiecare putând lua una dintre două valori (+1 sau −1). Spinurile sunt plasate pe nodurile unui graf^⁠(d), de obicei într-o rețea periodică, permițând fiecărui spin să interacționeze cu vecinii săi. Spinurile vecine care sunt aliniate au o energie mai mică decât cele nealiniate; sistemul tinde către starea de energie minimă, însă agitația termică perturbă această tendință, făcând posibilă apariția unor faze diferite. Modelul Ising pe rețea pătrată bidimensională este unul dintre cele mai simple modele statistice care prezintă o transformare de fază.

Modelul Ising bidimensional reprezentat ca o rețea de spini care interacționează.

Deși este un model extrem de simplificat al unui material magnetic, modelul Ising poate oferi rezultate calitative și uneori cantitative aplicabile sistemelor fizice reale și, în general, poate fi privit ca un caz particular al modelului n-vectorial^⁠(d) al lui Stanley pentru n = 1.

Modelul Ising a fost introdus de fizicianul Wilhelm Lenz (1920), care i-a propus problema studentului său Ernst Ising. Modelul Ising unidimensional a fost rezolvat de Ising (1925) în teza sa din 1924; acesta nu prezintă transformare de fază. Modelul Ising bidimensional pe rețea pătrată este mult mai dificil și a primit o descriere analitică abia mai târziu, de către Lars Onsager (1944). De obicei este rezolvat prin metoda matricii de transfer, deși există și o abordare foarte simplă care leagă modelul de o teorie cuantică a câmpurilor fermionică fără interacțiuni.

În dimensiuni superioare, transformarea de fază a modelului Ising este descrisă de teoria câmpului mediu^⁠(d). Modelul Ising în dimensiuni superioare a fost studiat și pentru diverse topologii de arbori în anii 1970, culminând cu o soluție exactă a modelului Barth (1981) fără câmp extern și independent de timp pentru arbori Cayley închiși cu raport de ramificare arbitrar. Soluția acestui model a evidențiat un comportament neobișnuit al tranziției de fază, împreună cu corelații spin–spin pe distanță lungă și între vecini apropiați diferite de zero, considerate relevante pentru rețele neurale de mari dimensiuni ca una dintre posibilele sale aplicații.

Problema Ising fără câmp extern poate fi formulată echivalent ca o problemă de tăietură maximă^⁠(d) (Max-Cut) într-un graf, care poate fi rezolvată prin optimizare combinatorie^⁠(d).

Definiție

Fie $\Lambda$ o mulțime de noduri ale unei rețele, fiecare având un set de noduri adiacente (de exemplu într-un graf) care formează o rețea de dimensiune $d$. Pentru fiecare nod $k\in \Lambda$ există o variabilă discretă $\sigma _{k}$ cu valori $\sigma _{k}\in \{-1,+1\}$, reprezentând spinul acelui nod. O configurație de spin, $\sigma =\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }$, este o atribuire a valorilor spinului fiecărui nod al rețelei.

Pentru orice două noduri adiacente $i,j\in \Lambda$ există o interacțiune $J_{ij}$. De asemenea, fiecare nod $j\in \Lambda$ poate interacționa cu un câmp magnetic extern $h_{j}$. Energia unei configurații $\sigma$ este dată de hamiltonian

$$H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j}.$$

Prima sumă se face peste perechile de spini vecini (fiecare pereche fiind numărată o singură dată). Notația $\langle ij\rangle$ indică faptul că nodurile $i$ și $j$ sunt vecini apropiați. $\mu$ reprezintă momentul magnetic. Semnul termenului cu câmpul extern este ales convențional.

Probabilitatea unei configurații este dată de distribuția Boltzmann^⁠(d) cu temperatură inversă^⁠(d) $\beta \geq 0$:$$P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},$$

unde $\beta =1/(k_{\mathrm {B} }T)$, iar$$Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}$$

este funcția de partiție^⁠(d).

Pentru o funcție a spinurilor $f$ (o observabilă), valoarea medie este$$\langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma ).$$

Probabilitățile $P_{\beta }(\sigma )$ reprezintă probabilitatea ca sistemul să se afle într-o stare cu configurația $\sigma$ la echilibru.

Discuție

Semnul minus din hamiltonian este convențional. În funcție de semnul interacțiunii $J_{ij}$:

• dacă $J_{ij}>0$, interacțiunea este feromagnetică;
• dacă $J_{ij}<0$, interacțiunea este antiferomagnetică;
• dacă $J_{ij}=0$, spinurile nu interacționează.

Într-un model Ising feromagnetic, spinurile tind să se alinieze. Într-un model antiferomagnetic, spinurile vecine tind să fie opuse.

Semnul hamiltonianului explică și interacțiunea cu câmpul extern:

• dacă $h_{j}>0$, spinul tinde să se alinieze pozitiv;
• dacă $h_{j}<0$, spinul tinde să se alinieze negativ;
• dacă $h_{j}=0$, nu există influență externă.

Simplificări

Adesea modelul este studiat fără câmp extern, adică $h=0$. În acest caz$$H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.$$

De asemenea, se presupune frecvent că toate interacțiunile dintre vecini sunt identice: $J_{ij}=J$. Hamiltonianul devine$$H(\sigma )=-J\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.$$

Legătura cu problema tăieturii maxime

Pentru modelul Ising fără câmp extern pe un graf $G$, hamiltonianul poate fi scris

$H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.$

Fiecare configurație de spin împarte mulțimea vârfurilor în două submulțimi: cele cu spin pozitiv și cele cu spin negativ. Muchiile care conectează aceste două submulțimi formează o tăietură a grafului. Astfel, minimizarea energiei modelului Ising este echivalentă cu maximizarea mărimii tăieturii, adică cu problema tăietură maximă^⁠(d) (Max-Cut).

Întrebări

Numeroase întrebări statistice se referă la limita unui număr mare de spini:

• Într-o configurație tipică, majoritatea spinurilor sunt +1 sau −1, sau apar în proporții egale?
• Dacă spinul într-o poziție i este +1, care este probabilitatea ca spinul într-o poziție j să fie tot +1?
• Dacă se modifică $\beta$, apare o transformare de fază?
• Pe o rețea $\Lambda$, care este dimensiunea fractală a unui cluster mare de spini +1?

Proprietăți de bază și istorie

Vizualizarea măsurii de probabilitate invariantă la translații a modelului Ising unidimensional

Cel mai studiat caz al modelului Ising este modelul feromagnetic fără câmp extern invariant la translații pe o rețea de dimensiune d, adică Λ = ℤ^d, J_ij = 1 și h = 0.

Lipsa tranziției de fază în unidimensionalitate

În teza sa de doctorat din 1924, Ising a rezolvat modelul pentru cazul d = 1, care poate fi interpretat ca o rețea liniară în care fiecare nod interacționează doar cu vecinii din stânga și din dreapta. În unidimensionalitate, soluția nu prezintă transformare de fază.

Mai precis, pentru orice β pozitiv, corelațiile ⟨σ_iσ_j⟩ scad exponențial cu distanța |i − j|:$$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp(-c(\beta )|i-j|),$$

iar sistemul rămâne dezordonat. Pe baza acestui rezultat, Ising a concluzionat în mod eronat că modelul nu prezintă comportament de fază în nicio dimensiune.

Tranziția de fază și soluția exactă în bidimensionalitate

Modelul Ising prezintă o transformare de fază între o fază ordonată și o fază dezordonată în bidimensionalitate sau mai multe. Pentru valori mici ale lui β sistemul este dezordonat, iar pentru valori mari ale lui β apare ordinea feromagnetică:$$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.$$

Acest rezultat a fost demonstrat pentru prima dată de Rudolf Peierls în 1936, folosind ceea ce astăzi se numește argumentul lui Peierls.

Modelul Ising pe rețea pătrată bidimensională fără câmp magnetic a fost rezolvat analitic de Lars Onsager în 1944. Onsager a obținut funcțiile de corelație^⁠(d) și energie liberă ale modelului și a anunțat formula pentru magnetizare spontană^⁠(d) în 1949, fără a publica demonstrația. Prima demonstrație publicată a fost dată de Yang (1952), folosind o formulă de limită pentru determinanți Fredholm^⁠(d).

Inegalități de corelație

Pentru corelațiile spinurilor în modelul Ising au fost demonstrate riguros mai multe inegalități de corelație^⁠(d), valabile pentru structuri generale de rețea. Aceste rezultate au permis matematicienilor să studieze modelul Ising atât în punctul critic, cât și în afara lui.

Inegalitatea Griffiths

Articol principal: inegalitatea Griffiths

Pentru orice submulțimi de spini $\sigma _{A}$ și $\sigma _{B}$ pe rețea, este valabilă inegalitatea$$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle ,$$

unde$$\langle \sigma _{A}\rangle =\left\langle \prod _{j\in A}\sigma _{j}\right\rangle .$$

Pentru cazul particular $B=\varnothing$ rezultă $\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$.

Aceasta arată că spinurile sunt corelate pozitiv într-un feromagnet Ising. O consecință imediată este că magnetizarea oricărui set de spini crește odată cu constantele de cuplaj $J_{B}$.

Inegalitatea Simon–Lieb

Inegalitatea Simon–Lieb afirmă că pentru orice mulțime $S$ care separă punctele $x$ și $y$,$$\langle \sigma _{x}\sigma _{y}\rangle \leq \sum _{z\in S}\langle \sigma _{x}\sigma _{z}\rangle \langle \sigma _{z}\sigma _{y}\rangle .$$

Această inegalitate poate fi folosită pentru a demonstra caracterul abrupt al tranziției de fază în modelul Ising.

Inegalitatea FKG

Articol principal: inegalitatea FKG

Această inegalitate a fost demonstrată inițial pentru un model de percolație cu corelații pozitive, care include o reprezentare a modelului Ising. Ea este utilizată pentru determinarea temperaturilor critice ale modelului Potts plan folosind argumente de percolație.

Semnificație istorică

Legile legăturilor chimice au convins chimiștii secolului al XIX-lea că atomii sunt reali, însă printre fizicieni dezbaterea a continuat până în secolul XX. Atomismul, susținut de James Clerk Maxwell și Ludwig Boltzmann, explica proprietățile gazelor prin mecanica statistică. Totuși, mecanica statistică clasică nu explica complet proprietățile lichidelor și solidelor sau comportamentul gazelor la temperaturi joase.

Odată cu apariția mecanicii cuantice, atomismul nu a mai fost în conflict cu experimentele, însă acceptarea universală a mecanicii statistice nu a venit imediat.

Josiah Willard Gibbs formulase deja cadrul matematic complet pentru derivarea legilor termodinamicii din legile mecanicii. Totuși, multe argumente greșite din secolul al XIX-lea au persistat, deoarece sistemele statistice infinite au proprietăți radical diferite de cele finite: o modificare infinitezimală a unui parametru poate produce schimbări macroscopice ale comportamentului sistemului.

Lipsa transformărilor de fază în volum finit

La începutul secolului XX s-a argumentat că funcția de partiție^⁠(d) nu poate descrie transformări de fază:

1. Funcția de partiție este o sumă de termeni de forma e^−βE.
2. Funcția exponențială este funcție analitică în β.
3. Suma funcțiilor analitice este analitică.

Acest argument este corect pentru sisteme finite. În limita termodinamică (sisteme infinite), suma infinită poate genera singularități, ceea ce permite apariția transformărilor de fază.

Picături Peierls

Peierls a demonstrat explicit existența unei transformări de fază bidimensionale comparând limitele de temperatură mare și mică.

La temperatură infinită (β = 0) toate configurațiile sunt la fel de probabile. Spinurile sunt complet independente și configurațiile arată ca un zgomot aleator.

La temperaturi scăzute, configurațiile sunt apropiate de starea de energie minimă, în care toate spinurile sunt + sau toate sunt −. Peierls a arătat că formarea unor regiuni locale („picături”) de spin opus este energetic costisitoare, deoarece energia lor crește proporțional cu perimetrul regiunii.

Probabilitatea apariției unei astfel de regiuni este proporțională cu$$e^{-\beta L},$$

unde L este perimetrul. Aceasta suprimă exponențial fluctuațiile mari, astfel încât magnetizarea rămâne apropiată de ±1 la temperaturi joase.

Dualitatea Kramers–Wannier

Articol principal: dualitatea Kramers–Wannier

Kramers și Wannier au arătat că dezvoltările la temperatură mare și la temperatură mică ale modelului sunt echivalente până la o rescalare a energiei libere. Aceasta a permis determinarea exactă a punctului critic în modelul bidimensional.

Zerourile Yang–Lee

Articol principal: teorema Lee–Yang

După soluția lui Onsager, Yang și Lee au studiat modul în care funcția de partiție devine singulară atunci când temperatura se apropie de temperatura critică.

Aplicații

Magnetism

Motivația inițială a modelului a fost explicarea fenomenului de feromagnetism. Fierul este magnetic: odată magnetizat, el rămâne magnetizat pentru o perioadă lungă de timp.

În secolul al XIX-lea se credea că magnetismul provine din curenți electrici în materie, iar André-Marie Ampère a sugerat existența unor curenți atomici permanenți. Totuși, mișcarea clasică a sarcinilor electrice nu putea explica existența unor curenți permanenți, așa cum a arătat Joseph Larmor.

După descoperirea spinului electronului, s-a înțeles că magnetismul provine din alinierea unui număr mare de spini electronici. Modelul Ising a fost conceput pentru a studia dacă o fracțiune mare de spini poate deveni aliniată folosind doar interacțiuni locale.

Gaz pe rețea

Modelul Ising poate fi reinterpretat ca un model statistic pentru mișcarea atomilor. Într-o aproximare grosieră, spațiul este discretizat într-o rețea, iar fiecare nod poate fi ocupat de un atom sau poate fi liber.

Spațiul configurațiilor este format din variabile binare B_i care pot lua valorile 0 sau 1. Interacțiunile atractive reduc energia atomilor vecini.

Energia sistemului este$$E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}.$$

Rescriind variabilele binare în funcție de spinuri,

$B_{i}=(S_{i}+1)/2,$

energia devine$$E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}.$$

Pentru rețele în care fiecare nod are același număr de vecini, aceasta este forma modelului Ising într-un câmp magnetic extern.

În sisteme biologice, versiuni modificate ale modelului de gaz pe rețea au fost utilizate pentru a studia diverse procese de legare moleculară, inclusiv legarea ligand–receptor la suprafața celulelor, legarea proteinelor implicate în chemotactism la motorul flagelar și procese de condensare a ADN-ului.

Neuroștiințe

Activitatea neuronilor din creier poate fi modelată statistic. Fiecare neuron este, la un moment dat, fie activ (+), fie inactiv (−). Neuronii activi sunt cei care transmit un potențial de acțiune de-a lungul axonului într-un anumit interval de timp, iar neuronii inactivi sunt cei care nu transmit.

Urmând abordarea generală a lui Jaynes, și interpretarea ulterioară a lui Schneidman, Berry, Segev și Bialek, modelul Ising este util pentru modelarea funcționării neurale deoarece un model statistic al activității neurale ar trebui ales conform principiului entropiei maxime^⁠(d). Pentru o colecție de neuroni, un model statistic care reproduce rata medie de activare a fiecărui neuron introduce un multiplicator Lagrange pentru fiecare neuron:$$E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}$$

În acest model activitatea fiecărui neuron este însă statistic independentă. Pentru a permite corelații între perechi de neuroni (când un neuron tinde să se activeze sau să rămână inactiv împreună cu altul) se introduc multiplicatori Lagrange pentru perechi:$$E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}$$

unde $J_{ij}$ nu sunt restricționați doar la vecini. Această generalizare a modelului Ising este numită uneori în statistică distribuție binară exponențială pătratică.

Funcția de energie introduce doar biaisuri de probabilitate pentru valorile individuale ale spinurilor și pentru perechi de spinuri cu aceeași valoare. Corelațiile de ordin superior nu sunt constrânse de multiplicatori. Un tipar de activitate extras din această distribuție necesită numărul maxim de biți pentru a fi stocat într-un calculator în schema de codare cea mai eficientă, comparativ cu orice altă distribuție cu aceeași activitate medie și aceleași corelații pereche. Din acest motiv, modelele Ising sunt relevante pentru orice sistem descris prin variabile binare cât mai aleatoare, dar cu constrângeri asupra corelațiilor pereche și asupra numărului mediu de valori 1.

Sticle de spin

Cu modelul Ising pot fi descrise și așa-numitele sticle de spin, folosind hamiltonianul

${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\sum J_{i,k}S_{i}S_{k},}$

unde variabilele S reprezintă spinuri Ising, iar coeficienții J_i,k sunt aleși dintr-o distribuție aleatoare. În mod tipic, se aleg legături antiferomagnetice cu probabilitatea p și legături feromagnetice cu probabilitatea 1−p (modelul Ising cu legături aleatoare). Aceste legături rămân fixe („înghețate”) chiar și în prezența fluctuațiilor termice.

Pentru p = 0 se obține modelul Ising original. Sistemul prezintă proprietăți neergodice și comportamente neobișnuite de relaxare. De asemenea, mult interes a fost acordat modelelor Ising diluate (pe legături sau pe noduri), în special bidimensional, care prezintă comportamente critice interesante.

Rețele neurale artificiale

Articol principal: Rețeaua Hopfield

Modelul Ising a avut un rol important în dezvoltarea rețelei Hopfield. Modelul Ising original descrie un sistem în echilibru. În 1963, Roy J. Glauber a studiat evoluția în timp a modelului Ising ca proces de relaxare către echilibrul termic (așa-numita dinamica Glauber^⁠(d)).

Ulterior, Kaoru Nakano (1971) și Shun'ichi Amari^⁠(d) (1972) au propus modificarea ponderilor modelului Ising prin regula de învățare hebbiană^⁠(d) pentru a descrie memoria asociativă. Ideea a fost publicată și de William A. Little în 1974, fiind ulterior citată de Hopfield în articolul său din 1982.

Modelul Sherrington–Kirkpatrick al sticlelor de spin (1975) poate fi interpretat ca o rețea Hopfield cu inițializare aleatoare. S-a arătat că funcția de energie are numeroase minime locale. În 1982, Hopfield a aplicat această teorie pentru a studia rețele neurale cu activare binară, iar în 1984 a extins modelul la funcții de activare continue.

Gheață marină

Bălțile de topire (melt pond^⁠(d)) de pe gheața marină pot fi modelate folosind modelul Ising. Într-o aproximație bidimensională simplă, variabila de stare este binară și indică dacă regiunea este apă sau gheață.

Topologii de tip arbore Cayley și rețele neurale mari

Un arbore Cayley deschis cu raport de ramificare 2 și k generații

Pentru a investiga un model Ising relevant pentru rețele neurale foarte mari, Barth (1981) a obținut expresia exactă a energiei libere pentru modelul Ising pe un arbore Cayley închis cu raport de ramificare arbitrar, în absența câmpului magnetic extern.

Temperatura critică este$$T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.$$

Această temperatură depinde doar de raportul de ramificare $\gamma$ și de energia de interacțiune $\epsilon$ dintre noduri vecine. Modelul prezintă corelații pe distanță lungă între anumite noduri ale rețelei, chiar și atunci când alte noduri intermediare au corelații nule.

Acest comportament este relevant pentru modele de rețele neurale mari și pentru alte sisteme fizice sau biologice cu structură de tip arbore.

Simulare numerică

Relaxarea unui sistem Ising pe o rețea pătrată bidimensională

Modelul Ising devine dificil de evaluat numeric atunci când numărul de stări este foarte mare. Pentru o rețea cu

L = |Λ| — numărul total de noduri,

σ_j ∈ {−1,+1} — spinul nodului j,

S ∈ {−1,+1}^L — starea sistemului,

există 2^L stări posibile.

Din acest motiv modelul este adesea studiat prin metoda Monte Carlo^⁠(d). Hamiltonianul utilizat este$$H(\sigma )=-J\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.$$

În multe situații se consideră câmp extern nul:$$H(\sigma )=-J\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.$$

Algoritmul Metropolis

Algoritmul Metropolis–Hastings^⁠(d) este metoda Monte Carlo cea mai utilizată pentru simularea modelului Ising.

Algoritmul selectează o stare nouă posibilă și o acceptă cu probabilitatea$$A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{dacă }}H_{\nu }-H_{\mu }>0\\1,&{\text{altfel}}\end{cases}}$$

Pașii algoritmului sunt:

1. se selectează un spin aleator;
2. se inversează spinul și se calculează variația energiei;
3. dacă energia scade, schimbarea este acceptată;
4. dacă energia crește, schimbarea este acceptată cu probabilitatea $e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}$;
5. procesul se repetă.

Metoda poate fi interpretată ca o simulare de tip lanț Markov și face parte din categoria Monte Carlo cu lanțuri Markov^⁠(d).

Soluții

O dimensiune

În cazul interacțiunilor de vecini apropiați, Ising a obținut soluția exactă a modelului. Energia sistemului este$$H(\sigma )=-J\sum _{i=1}^{L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i}.$$

Energia liberă în limita termodinamică este$$f(\beta ,h)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh(\beta h)+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right).$$

Corelațiile spin–spin scad exponențial:$$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}.$$

Prin urmare, modelul Ising unidimensional nu prezintă transformare de fază pentru temperaturi finite.

Soluția exactă a lui Ising

În cazul interacțiunilor între vecini apropiați (cu condiții la limită periodice sau libere) există o soluție exactă. Hamiltonianul modelului Ising unidimensional pe o rețea cu L noduri, cu condiții la limită libere, este$$H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},$$

unde J și h pot lua orice valori. În acest caz simplificat, J este o constantă care reprezintă intensitatea interacțiunii dintre vecinii apropiați, iar h este câmpul magnetic extern constant aplicat nodurilor rețelei. Atunci energia liberă este$$f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),$$

iar corelația spin–spin (adică covarianța) este$$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},$$

unde C(β) și c(β) sunt funcții pozitive pentru T > 0. Pentru T → 0 însă, inversul lungimii de corelație c(β) tinde la zero.

Demonstrație

Demonstrația acestui rezultat este un calcul simplu.

Dacă h = 0, energia liberă poate fi obținută ușor în cazul condițiilor la limită libere, când$$H(\sigma )=-J(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}).$$

Modelul se factorizează prin schimbarea de variabile$$\sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.$$

Rezultă$$Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.$$

Prin urmare energia liberă este$$f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].$$

Cu aceeași schimbare de variabile$$\langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},$$

deci corelația scade exponențial pentru orice T ≠ 0. Pentru T = 0 (adică β → ∞) nu mai există decădere.

Dacă h ≠ 0, este necesară metoda matricei de transfer. În cazul condițiilor la limită periodice, funcția de partiție este$$Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.$$

Coeficienții $V_{\sigma ,\sigma '}$ pot fi interpretați ca elementele unei matrice. O alegere convenabilă (deoarece matricea este simetrică) este$$V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}$$

sau$$V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.$$

În formalism matricial$$Z(\beta )=\operatorname {Tr} (V^{L})=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],$$

unde λ₁ este cea mai mare valoare proprie a lui V, iar λ₂ este cealaltă valoare proprie:$$\lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}.$$

Aceasta conduce la formula energiei libere de mai sus. În limita termodinamică, pentru cazul fără interacțiune (J = 0), se obține$$Z_{N}\to (2\cosh \beta h)^{N}.$$

Observații

Energia stării fundamentale este −JL, atunci când toate spinurile au aceeași orientare. Pentru orice altă configurație, energia suplimentară este egală cu 2J înmulțit cu numărul schimbărilor de semn ale spinului atunci când configurația este parcursă de la stânga la dreapta.

Dacă notăm cu k numărul acestor schimbări de semn, diferența de energie față de starea fundamentală este 2k. Deoarece energia este aditivă în numărul inversărilor de spin, probabilitatea p de a avea o inversare într-o anumită poziție este independentă.

Raportul dintre probabilitatea de a avea o inversare și cea de a nu avea este factorul Boltzmann:$${\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.$$

Problema devine echivalentă cu aruncări independente ale unei monede biasate.

Din această descriere se poate înțelege statistica sistemului pentru lanțuri lungi. Linia se împarte în domenii de spin. Fiecare domeniu are lungimea medie exp(2β). Lungimea domeniului este distribuită exponențial deoarece probabilitatea de a întâlni o inversare este constantă la fiecare pas.

Corelațiile scad exponențial:$$\langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.$$

Funcția de partiție se factorizează deoarece fiecare configurație este caracterizată de pozițiile inversărilor de spin:$$Z=\sum _{\text{configurații}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.$$

Logaritmul împărțit la L reprezintă densitatea energiei libere$$\beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right).$$

Această funcție este analitică pentru orice β finit. Deoarece transformările de fază apar atunci când energia liberă devine neanalitică, modelul Ising unidimensional nu prezintă transformare de fază.

Soluția unidimensională cu câmp transversal

Pentru a exprima Hamiltonianul modelului Ising într-o descriere în mecanica cuantică a spinurilor, variabilele de spin sunt înlocuite cu matricile Pauli corespunzătoare. În funcție de direcția câmpului magnetic, se poate obține un Hamiltonian cu câmp transversal sau longitudinal. Hamiltonianul modelului Ising cu câmp transversal^⁠(d) este$$H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.$$

Modelul cu câmp transversal prezintă o transformare de fază între un regim ordonat și unul dezordonat la J ≈ h. Acest lucru poate fi demonstrat printr-o transformare a matricilor Pauli$$\sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},$$$$\sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.$$

Rescriind Hamiltonianul în funcție de aceste matrice transformate, se obține$$H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.$$

Deoarece rolurile lui h și J sunt inversate, Hamiltonianul prezintă o tranziție la punctul J = h.

Renormalizare

Atunci când nu există câmp extern, se poate deduce o ecuație funcțională satisfăcută de $f(\beta ,0)=f(\beta )$ folosind metoda renormalizării^⁠(d).

Fie $Z_{N}(\beta ,J)$ funcția de partiție pentru o rețea cu $N$ noduri. Atunci$$Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }e^{K\sigma _{2}(\sigma _{1}+\sigma _{3})}e^{K\sigma _{4}(\sigma _{3}+\sigma _{5})}\cdots$$

unde $K:=\beta J$. Sumând peste variabilele $\sigma _{2},\sigma _{4},\ldots$ se obține$$Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }(2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})))(2\cosh(K(\sigma _{3}+\sigma _{5})))\cdots$$

Deoarece funcția cosh este pară, se poate scrie$$Ae^{K'\sigma _{1}\sigma _{3}}=2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})),$$

unde

${\textstyle A=2{\sqrt {\cosh(2K)}}}$, iar ${\textstyle K'={\tfrac {1}{2}}\ln \cosh(2K)}$.

Rezultă relația de autosimilaritate$${\frac {1}{N}}\ln Z_{N}(K)={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{N/2}}\ln Z_{N/2}(K').$$

În limita termodinamică rezultă$$f(\beta )={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}f(\beta '),$$

unde

${\textstyle \beta 'J={\tfrac {1}{2}}\ln \cosh(2\beta J)}$.

Pentru valori mici ale lui $\beta$, se obține aproximativ

${\textstyle f(\beta )\approx \ln 2}$,

iar ecuația funcțională poate fi iterată numeric pentru calculul lui $f(\beta )$.

Bidimensionalitate

În cazul feromagnetic există o transformare de fază. La temperaturi joase, argumentul Peierls demonstrează existența unei magnetizări pozitive în cazul interacțiunilor între vecini apropiați, iar prin inegalitatea Griffiths^⁠(d) rezultatul rămâne valabil și atunci când sunt adăugate interacțiuni pe distanță mai mare. La temperaturi ridicate, expansiunea în clustere^⁠(d) arată că funcțiile termodinamice sunt analitice.

În cazul interacțiunilor între vecini apropiați, energia liberă a fost calculată exact de Lars Onsager. Funcțiile de corelație spin–spin au fost determinate ulterior de McCoy și Wu.

Soluția exactă a lui Onsager

Articol principal: Modelul Ising cu rețea pătrată

Onsager (1944) a obținut următoarea expresie analitică pentru energia liberă a modelului Ising pe o rețea pătrată anizotropă în absența câmpului magnetic ($h=0$) în limita termodinamică:$$-\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].$$

Din această expresie se pot obține toate funcțiile termodinamice prin derivare.

Modelul Ising bidimensional a fost primul model care prezintă o transformare de fază continuă la o temperatură pozitivă. Temperatura critică $T_{c}$ este soluția ecuației$$\sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.$$

În cazul izotrop $J_{1}=J_{2}=J$ rezultă$$T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}=(2.269185\cdots ){\frac {J}{k}}.$$

Dacă $J_{1}$ și $J_{2}$ sunt negative, modelul devine antiferomagnetic. Deoarece rețeaua pătrată este bipartită, în absența câmpului magnetic energia liberă și temperatura critică coincid cu cele ale cazului feromagnetic.

Pentru rețeaua triunghiulară, care nu este bipartită, comportamentul diferă: nu este posibil ca toate cele trei perechi de spinuri dintr-un triunghi să fie antiparalele simultan. Acesta este un exemplu de frustrare geometrică.

Formula lui Onsager pentru magnetizarea spontană

Onsager a anunțat celebra formulă pentru magnetizarea spontană^⁠(d) M a modelului Ising bidimensional pe rețea pătrată:$$M=\left(1-[\sinh(2\beta J_{1})\sinh(2\beta J_{2})]^{-2}\right)^{1/8}.$$

Demonstrația completă a fost publicată în 1952 de Yang (1952), folosind o formulă limită pentru determinanți Fredholm.

Model minimal

Articol principal: Modelul critic Ising bidimensional

În punctul critic, modelul Ising bidimensional este o teorie conformă a câmpului bidimensională^⁠(d). Funcțiile de corelație ale spinului și energiei sunt descrise de un model minimal^⁠(d), care a fost rezolvat exact.

Tridimensionalitate

În tridimensionalitate, cazul cel mai studiat este modelul Ising invariant la translație pe o rețea cubică, cu interacțiuni între vecini apropiați și fără câmp magnetic extern.

Mulți teoreticieni au încercat timp de decenii să găsească o soluție analitică tridimensională analogă cu cea a lui Onsager pentru bidimensionalitate. Până în prezent nu a fost găsită o astfel de soluție, deși nu există o demonstrație că ea nu ar putea exista.

În tridimensionalitate, argumentul lui Peierls arată existența unei transformări de fază continue. Se consideră că punctul critic este descris de un punct fix al grupului de renormalizare^⁠(d) Wilson–Kadanoff și de o teorie conformă a câmpurilor^⁠(d) tridimensională.

Exponenții critici ai tranziției au fost calculați folosind metode de grup de renormalizare, simulări Monte Carlo și metoda conformal bootstrap^⁠(d).

În anul 2000, Sorin Istrail a demonstrat că modelul Ising de tip sticlă de spin pe rețele neplanare este NP-complet. Astfel, în general modelul poate fi rezolvat exact doar pentru grafuri planare.

Cvadridimensionalitate și dimensiuni superioare

Articol principal: Modelul Ising de înaltă dimensionalitate

În orice dimensiune, modelul Ising poate fi descris aproximativ prin teoria câmpului mediu^⁠(d). Precizia acestei aproximări crește odată cu dimensiunea spațiului.

O înțelegere mai profundă a comportamentului modelului, dincolo de aproximația de câmp mediu, este obținută folosind metodele grupului de renormalizare^⁠(d).

Bibliografie

• Barth, P. F. (1981), „Cooperativity and the Transition Behavior of Large Neural Nets”, Master of Science Thesis, Burlington: University of Vermont: 1–118, OCLC 8231704 
• Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578 
• K. Binder (2001), „Ising model”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Brush, Stephen G. (1967). „History of the Lenz-Ising Model”. Reviews of Modern Physics. 39 (4): 883–893. Bibcode:1967RvMP...39..883B. doi:10.1103/RevModPhys.39.883. 
• Baierlein, R. (1999), Thermal Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59082-2 
• Gallavotti, G. (1999), Statistical mechanics, Texts and Monographs in Physics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03952-6, ISBN 978-3-540-64883-3, MR 1707309 
• Huang, Kerson (1987), Statistical mechanics (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-81518-1 
• Ising, E. (1925), „Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus”, Z. Phys., 31 (1): 253–258, Bibcode:1925ZPhy...31..253I, doi:10.1007/BF02980577 
• Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Théorie statistique des champs, Volume 1, Savoirs actuels (CNRS), EDP Sciences Editions, ISBN 978-2-86883-360-0 
• Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statistical field theory, Volume 1: From Brownian motion to renormalization and lattice gauge theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-40805-9 
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-18482-4. 
• Ross Kindermann and J. Laurie Snell (1980), Markov Random Fields and Their Applications. American Mathematical Society. ISBN: 0-8218-3381-2.
• Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, "Superflow and Vortex Lines", pp. 1–742, Vol. II, "Stresses and Defects", pp. 743–1456, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN: 9971-5-0210-0 (also available online: Vol. I Arhivat în 27 mai 2008, la Wayback Machine. and Vol. II Arhivat în 27 mai 2008, la Wayback Machine.)
• Kleinert, H and Schulte-Frohlinde, V (2001), Critical Properties of φ⁴-Theories, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN: 981-02-4658-7 (also available online Arhivat în 16 iulie 2011, la Wayback Machine.)
• Lenz, W. (1920), „Beiträge zum Verständnis der magnetischen Eigenschaften in festen Körpern”, Physikalische Zeitschrift, 21: 613–615 
• Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN: 0-674-91440-6
• Montroll, Elliott W.; Potts, Renfrey B.; Ward, John C. (1963), „Correlations and spontaneous magnetization of the two-dimensional Ising model”, Journal of Mathematical Physics, 4 (2): 308–322, Bibcode:1963JMP.....4..308M, doi:10.1063/1.1703955, ISSN 0022-2488, MR 0148406, Arhivat din original în 12 ianuarie 2013, accesat în 25 octombrie 2009 Mentenanță CS1: URL impropriu (link)
• Onsager, Lars (1944), „Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition”, Physical Review, Series II, 65 (3–4): 117–149, Bibcode:1944PhRv...65..117O, doi:10.1103/PhysRev.65.117, MR 0010315 
• Onsager, Lars (1949), „Discussion”, Supplemento al Nuovo Cimento, 6: 261 
• John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN: 978-0-8176-4248-8.
• Istrail, Sorin (2000), „Statistical mechanics, three-dimensionality and NP-completeness. I. Universality of intractability for the partition function of the Ising model across non-planar surfaces (extended abstract)” (PDF), Proceedings of the Thirty-Second Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, pp. 87–96, doi:10.1145/335305.335316, ISBN 978-1-58113-184-0, MR 2114521 
• Yang, C. N. (1952), „The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model”, Physical Review, Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode:1952PhRv...85..808Y, doi:10.1103/PhysRev.85.808, MR 0051740 
• Glasser, M. L. (1970), „Exact Partition Function for the Two-Dimensional Ising Model”, American Journal of Physics, 38 (8): 1033–1036, Bibcode:1970AmJPh..38.1033G, doi:10.1119/1.1976530 
• Jellito, R. J. (1979), „The Ising Model on a Closed Cayley Tree”, Physica, 99A (1): 268–280, Bibcode:1979PhyA...99..268J, doi:10.1016/0378-4371(79)90134-1 
• Krizan, J. E.; Barth, P. F.; Glasser, M.L. (1983), „Exact Phase Transitions for the Ising Model on the Closed Cayley Tree”, Physica, North-Holland Publishing Co., 119A: 230–242, doi:10.1016/0378-4371(83)90157-7 
• Glasser, M. L.; Goldberg, M. (1983), „The Ising model on a closed Cayley tree”, Physica, 117A (2): 670–672, Bibcode:1983PhyA..117..670G, doi:10.1016/0378-4371(83)90138-3 
• Süzen, Mehmet (2014), „Effective ergodicity in single-spin-flip dynamics”, Physical Review E, 90 (3), arXiv:1405.4497 , Bibcode:2014PhRvE..90c2141S, doi:10.1103/PhysRevE.90.032141, PMID 25314429 

Vezi și

• Modelul ANNNI
• Parametrul Binder
• Mașină Boltzmann^⁠(d)
• Construirea unui lanț Markov ireductibil în modelul Ising
• Frustrare geometrică
• Modelul Heisenberg clasic
• Modelul Heisenberg cuantic
• Modelul rotorului cuantic^⁠(d)
• Modelul Kuramoto^⁠(d)
• Mulțime maxim uniformă
• Operator de ordine
• Model de spin^⁠(d)
• Modelul t-J^⁠(d)
• Modelul XY clasic^⁠(d)
• Modelul N-vectorial^⁠(d)
• Modelul ZN^⁠(d)

Legături externe

• en Ising model at The Net Advance of Physics
• Barry Arthur Cipra, "The Ising model is NP-complete", SIAM News, Vol. 33, No. 6; online edition (.pdf)
• en Science World article on the Ising Model
• en A dynamical 2D Ising java applet by UCSC Arhivat în 21 februarie 2020, la Wayback Machine.
• en A dynamical 2D Ising java applet
• en A larger/more complicated 2D Ising java applet Arhivat în 25 noiembrie 2020, la Wayback Machine.
• en "I sing well-tempered" The Ising Model: A simple model for critical behavior in a system of spins de Dirk Brockman, este o simulare interactivă ce permite utilizatorilor să exporte codul funcțional într-un diapozitiv de prezentare
• en Ising Model simulation de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project
• en Phase transitions on lattices
• en Three-dimensional proof for Ising Model impossible, Sandia researcher claims
• en Interactive Monte Carlo simulation of the Ising, XY and Heisenberg models with 3D graphics (necesită un browser compatibil cu WebGL)
• en Ising Model code , image denoising example with Ising Model
• en David Tong's Lecture Notes
• en The Cartoon Picture of Magnets That Has Transformed Science - Quanta Magazine articol despre modelul Ising
• Simularea modelului Ising bidimensional în Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl