Matriz invertíbel

En matemáticas, en particular en álxebra linear, unha matriz cadrada de orde n dise que é invertíbel, non singular, non dexenerada ou regular se existe outra matriz cadrada de orde n, chamada matriz inversa de A e denotada por $A^{-1}$ se $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}$, onde $I_{n}$ é a matriz identidade de orde n e o produto utilizado é o produto de matrices usual.

Unha interpretación espacial dunha matriz 3x3 é a de 3 planos secantes só na orixe. As coordenadas da matriz serían os coeficientes dos tres vectores normais ao plano nunha base dada.

Unha matriz cadrada non invertíbel dise que é singular ou dexenerada. Unha matriz é singular se e só se o seu determinante é nulo. A matriz singular $A$ caracterízase porque a súa multiplicación pola matriz columna $X$ é igual a cero para algún $X$ non nulo. O conxunto destes vectores (e ao subespazo vectorial formado por eles) chamarase $kerA$ (de kernel, núcleo en inglés), para unha matriz invertíbel $kerA$ é o vector nulo.

A inversión de matrices é o proceso de atopar a matriz inversa dunha matriz dada.

Exemplos

Matriz de dúas filas (matriz adxunta)

Dada unha matriz de tamaño 2 x 2 con determinante non nulo, temos

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

e esta está definida a condición de que $ad-bc\neq 0$ con$a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Así por exemplo a inversa da matriz

${\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},$

xa que

${\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Matriz de tres filas

Véxase tamén: menor (álxebra linear).

Dada unha matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ con determinante non nulo:

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}$

onde se definen

${\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}$

Coa notación de cofactores teríamos

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}A=C_{11}&B=C_{12}&C=C_{13}\\D=C_{21}&E=C_{22}&F=C_{23}\\G=C_{31}&H=C_{32}&I=C_{33}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

Se temos

$A={\begin{bmatrix}3&0&2\\2&0&-2\\0&1&1\\\end{bmatrix}}.$

$\det(A)=3\cdot 2-2\cdot (-2)-0\cdot 0=10.$

$C={\begin{bmatrix}2&-2&2\\2&3&-3\\0&10&0\\\end{bmatrix}}$; $\quad C^{T}={\begin{bmatrix}2&2&0\\-2&3&10\\2&-3&0\\\end{bmatrix}}.$

$A^{-1}={\begin{bmatrix}0.2&0.2&0\\-0.2&0.3&1\\0.2&-0.3&0\\\end{bmatrix}}.$

Propiedades da Matriz Inversa

Sexa $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ unha matriz de rango máximo

• A matriz inversa de $A$ é única.
• Se $B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ e $C\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ daquela a matriz inversa do produto $BC$ é

$\left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}$

• Se a matriz $A$ é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir

$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$

• E, evidentemente:

$\left((A^{-1})^{-1}\right)=A$

• Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de $A$ é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\$

onde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ é o determinante de $A$ e $\operatorname {adj} {(A)}\$é a matriz de adxuntos de $A$, entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés adjugate).

• O conxunto de matrices $n\times n$ con compoñentes sobre o corpo $\mathbf {K}$ que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear ${\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$ de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo $(\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$.

Demostración da unicidade da inversa

Supoñamos que $B$ e $C$ son inversas de $A$

$AB=BA=I,\quad {\text{e}}\quad AC=CA=I$

Multiplicando ambas as relacións por $C$

$(BA)C=IC=C,\quad {\text{e}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B$

De modo que $B=C$ e próbase que a inversa é única.

Demostración do criterio de invertibilidade das matrices cadradas

Probarase a dupla implicación.

Suficiencia$(\Rightarrow )$

Supoñamos que existe $B$ tal que $AB=BA=I$. Entón ao aplicar a función determinante obtense

$\det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).$

Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que $\det(I)=1$ temos

$\det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,$

polo que deducimos que $\det(A)$ é distinto de cero.

Necesidade$(\Leftarrow )$

Supoña que o determinante de $A$ é diferente de cero. Sexa $a_{ij}$ o elemento ij da matriz $A$ e sexa $A_{ij}$ a matriz $A$ sen a liña $i$ e a columna $j$ (comunmente coñecido como $j$-ésimo menor de A). Entón temos que

$\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).$

A maiores, se $k\neq j$, entón podemos deducir que

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,$

xa que a parte esquerda da relación é o determinante de $A$ coa columna $j$ substituída pola columna $k$ e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.

Das dúas ecuacións anteriores podemos obter

$\delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.$

onde $\delta _{jk}$ é o delta de Kronecker.

Polo tanto, sabendo qie $(I)_{ij}=\delta _{ij}$ temos que

$\det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,$

é dicir, que $A$ ten inversa pola esquerda

${\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.$

Como $\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)$, así $A^{T}$ tamén ten unha inversa pola esquerda que é

${\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.$

Daquela

${\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,$

logo, aplicando a transposta

$A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,$

que é o que se quería demostrar.

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Pódese facer do seguinte xeito:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

Isto é posíbel sempre que $ad-bc\neq 0$, é dicir, o determinante da matriz non é cero.

Exemplo numérico:

$C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}$

Inversión de matrices de orde superior

Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\$

Onde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ é o determinante de $A$ e $\ \operatorname {adj} {(A)}\$ é a matriz adxunta de $A$.

Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.

Métodos numéricos

O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.

Por exemplo, considere a seguinte matriz: $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}}$

Para atopar a matriz inversa $A^{-1}$, seguimos estes pasos:

Formar a matriz aumentada $[A|I]$: $[A|I]=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\5&6&0&0&0&1\end{array}}\right)$

Aplicar operacións elementais de fila:

Paso 1: Restar 5 veces a primeira fila da terceira fila: $\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&-4&-15&-5&0&1\end{array}}\right)$

Paso 2: Sumar 4 veces a segunda fila á terceira fila:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&0&1&-5&4&1\end{array}}\right)$

Paso 3: Restar 3 veces a terceira fila da primeira fila e 4 veces a terceira fila da segunda fila:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&16&-12&-3\\0&1&0&20&-15&-4\\0&0&1&-5&4&1\end{array}}\right)$

Paso 4: Restar 2 veces a segunda fila da primeira fila:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-24&18&5\\0&1&0&20&-15&-4\\0&0&1&-5&4&1\end{array}}\right)$

No lado dereito da matriz aumentada temos a matriz inversa da orixinal.

Grupo linear

O conxunto de todas as matrices $n\times n$ que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde n, denotado como ${\textrm {GL}}(n)$. Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores ${\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}$ é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de $\mathbb {R} ^{n^{2}}$).

Véxase tamén

Bibliografía

• "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 

• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – vía Google Books. 
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (15 de novembro de 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23. 

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• Exercicios resolvidos de matrices inversas
• "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].