Aristoxenus - Arithmetische Zeichen

Aristoxenus

Athen

von Tarent, Schüler des Aristoteles, lebte in Athen [* 4] um 350 v. Chr. Von seinen zahlreichen philos. Schriften sind nur kleinere Bruchstücke übrig (gesammelt bei C. Müller in den «Fragmenta historicorum Graecorum», Bd. 2, Par. 1848). Gleichzeitig ist aber Aristoxenus einer der ältesten griech. Schriftsteller über Musik. Von seinen hierauf bezüglichen Werken sind die «Harmonika stoicheia» in drei Büchern, wenn auch lückenhaft und verderbt, erhalten geblieben. Dieselben wurden von Meursius (Leid. 1646) und mit lat. Übersetzung in Meiboms «Antiquae musicae scriptores» (2. Aufl., 2 Bde., Amsterd. 1652) herausgegeben und von Marquard (mit deutscher Übersetzung, Berl. 1869) kritisch untersucht. Die Bruckstücke eines Werkes über die Rhythmik, zuerst von Morelli (Vened. 1785) herausgegeben, wurden von Feußner (Hanau [* 5] 1840) und Bartels (Bresl. 1854) kritisch bearbeitet. -

Vgl.   Westphal, von Tarent, Melik und Rhythmik des klassischen Hellenentums (Lpz. 1883; Bd. 2, hg. von Saran, ebd. 1893).

Aristus,

s. Evarestus.

Aristyllus,

griech. Astronom, aus Samos gebürtig, lebte um 290 v. Chr. zu Alexandria und bestimmte, wie man vermutet als einer der ersten, durch wirkliche Messungen die Örter der Fixsterne [* 6] am Himmel. [* 7]

Sein Werk «Über die Fixsterne» ist verloren gegangen, ebenso sein Kommentar zum Aratus.

Arithmetik

Lehrbegriff - Lehrerin

(arch.), deutsch Zahlenlehre, ist derjenige Teil der Mathematik, der sich mit den aus Einheiten gebildeten Zahlen (unstetigen Größen) und ihren Verbindungen beschäftigt. Im engern Sinne versteht man darunter die Lehre [* 8] von der Rechnung mit bestimmten Zahlen, die mit Ziffern geschrieben werden. Man teilt die in die gemeine und die höhere Arithmetik. Die gemeine Arithmetik umfaßt die bekannten vier Species der Rechenkunst in ganzen und gebrochenen Zahlen und ihre praktischen Anwendungen; ferner die Lehre von den Proportionen und Progressionen, die Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzeln, sowie die Rechnung mit Logarithmen.

Die höhere Arithmetik oder Zahlenlehre im engern Sinne begreift die Untersuchung über die allgemeinen Eigenschaften der Zahlen ohne Rücksicht auf ein bestimmtes Zahlensystem, die Zerfällung der ganzen Zahlen in Faktoren, die Aussonderung der Primzahlen, die Kettenbrüche u. s. w. Ferner unterscheidet man die theoretische Arithmetik, welche die Lehrsätze von den Verbindungen und Eigenschaften der Zahlen aufstellt und wissenschaftlich begründet, von der praktischen (technischen oder bürgerlichen), welche die Regeln und Vorteile der Kunst, sicher und möglichst schnell zu rechnen, mitteilt und schlechthin auch Rechenkunst (s. d.) genannt wird.

Die numerische Arithmetik, bei den Griechen Logistik genannt, lehrt die Rechnung mit bestimmten, durch Ziffern ausgedrückten Zahlen, im Gegensatze zur allgemeinen Arithmetik oder Buchstabenrechnung, die sich zur Bezeichnung unbestimmter Zahlen der Buchstaben bedient. Politische Arithmetik ist die Anwendung der Arithmetik auf die in der Verwaltung vorkommenden Verhältnisse, auf Berechnung der Lotterien, der Renten-, Versorgungs- und Versicherungsanstalten, wobei die Sterblichkeitsverhältnisse, die wahrscheinliche und mittlere Lebensdauer in Betracht zu ziehen sind. (Vgl. Holzinger, Lehrbuch der politischen Arithmetik, Braunschw. 1888.) Die juristische Arithmetik umfaßt die Anwendung der Arithmetik bei Rechtsfällen und fällt größtenteils mit der politischen Arithmetik zusammen. Die kaufmännische Arithmetik ist die Rechenkunst (s. d.) für das Geschäftsleben. Instrumentale Arithmetik nennt man die Rechnung mittels gewisser Werkzeuge, [* 9] wohin die Rechentafel oder der Abakus, [* 10] die Rechenstäbe, namentlich aber die Rechenmaschinen (s. d.) gehören.

Das Rechnen, das die Griechen von den Phöniziern und den Ägyptern gelernt hatten, war von dem jetzt gebräuchlichen durchaus verschieden und durch die überaus unbequeme Bezeichnungsart erschwert, so daß die wissenschaftliche Arithmetik bei den Alten auf einer niedern Stufe geblieben ist. Nur wenige arithmet. Schriften der Alten sind auf uns gekommen, von Euklides (das 5. und 7. bis 10. Buch seiner Elemente), von Archimedes (Sandrechnung und Kreismessung), von Nikomachus und Diophantus.

Italien

Den wichtigsten Fortschritt der Arithmetik verdankt man den Indern, welche die Null und die jetzt allgemein gebräuchliche Zahlenschreibung erfunden haben. Auf Grund dieser Erfindung ist von den Arabern im 9. Jahrh. die heutige Art des Rechnens ausgebildet worden. Nach Einführung der neuen in Italien [* 11] im 13. Jahrh. änderte sich allmählich die Gestalt der Arithmetik; erst im 16. Jahrh. wurde der Gebrauch der Decimalbrüche allgemeiner. Im 17. Jahrh. wurden die Logarithmen erfunden, der letzte epochemachende Fortschritt in der Technik des Rechnens. (S. Algebra.) -

Vgl.   Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (2 Bde., Lpz. 1885-86).

Arithmetisches

Mittel, s. Mittel. ^[= in der Mathematik. Das arithmetische M. zweier oder mehrerer Zahlen wird gefunden, wenn man ...]

Arithmetische

Zeichen (mathematische Zeichen). Das Zeichen der Addition ist + (plus), z. B. 5 + 4 ist 9;

das der Subtraktion - (minus), hinter den Minuendus und vor den Subtrahendus, z. B. 10 - 3 ist 7;

das der Multiplikation × (mal) oder ein Punkt (·), z. B. 4 × 5 oder 4 · 5 ist 20;

das Zeichen der Division ist entweder ein horizontaler Strich, über dem der Dividendus und unter dem der Divisor steht, oder ein Doppelpunkt (:, d. h. geteilt durch) zwischen dem Dividendus (der voransteht) und dem Divisor, z. B. 24/4 ^[vgl. img] oder 24 : 4 ist 6. Verbindungen von Zahlen durch Rechnungszeichen, d. h. Formeln, mit denen gerechnet werden soll, werden als Parenthesen in Klammern [* 12] eingeschlossen, z. B. (a + b- c) oder [a + b- c].

Arithmogriph - Arkadie

Die m^te Potenz von a wird durch a^m, die m^te Wurzel [* 13] aus a durch ^[img] bezeichnet. ^[img] oder die imaginäre Einheit wird in i abgekürzt. Das Zeichen der Gleichheit ist =, wofür bei Verhältnissen auch wohl :: ^[vgl. img] gesetzt wird; das Zeichen der Ungleichheit > und ¶

mehr

unentschieden, welche von zwei ungleichen Größen die größere ist. Das Unendlichgroße bezeichnet man mit ∞, das Unendlichkleine mit 1/∞;

die Kongruenz zweier Zahlen mit ≡, die zweier [* 14] Figuren mit ^[img];

Das Zeichen der Ähnlichkeit [* 15] ist ~;

den Logarithmus kürzt man ab in log oder lg;

3! (gespr. 3 Fakultät) ist in der Kombinationslehre die Abkürzung für 1·2·3 und bedeutet die Anzahl der Permutationen von 3 Dingen.

Die mathem. Zeichenschrift entstand durch die Buchstabenrechnung.