Вейвлет Рікера

Вейвлет Рікера (також вейвлет «мексиканський капелюх», MHAT-вейвлет(англ. Mexican hat wavelet), вейвлет Марра) — дійснозначний симетричний вейвлет, що з точністю до масштабування та нормування є від'ємною другою похідною гаусової функції. Його нормовану форму можна записати як

Вейвлет Рікера

$\psi (t)={\frac {2}{{\sqrt {3\sigma }}\,\pi ^{1/4}}}\left(1-\left({\frac {t}{\sigma }}\right)^{2}\right)e^{-t^{2}/(2\sigma ^{2})},$

де $\sigma >0$ задає масштаб вейвлета. Вейвлет Рікера має нульове середнє, два зникальні моменти та не має компактного носія.

Вейвлет названо на честь американського геофізика Нормана Рікера, який досліджував форму та поширення сейсмічних імпульсів. У сейсмології його широко використовують як модель нуль-фазового сейсмічного імпульсу та для побудови синтетичних сейсмограм.

Двовимірне узагальнення вейвлета Рікера є, з точністю до знака й нормування, лапласіаном гаусової функції. У такій формі він застосовується в обробці зображень та комп'ютерному зорі.

Властивості

Зв'язок із різницею гаусіанів

Порівняння різниці гауссіанів із вейвлетом Рікера

Вейвлет Рікера тісно пов'язаний із різницею гаусіанів (англ. Difference of Gaussians, DoG). Для гаусового ядра

$G_{\sigma }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

похідна за масштабом дорівнює

${\frac {\partial G_{\sigma }}{\partial \sigma }}=\left(-{\frac {1}{\sigma }}+{\frac {x^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)G_{\sigma }={\frac {x^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}G_{\sigma },$

а друга похідна за координатою

${\frac {\partial ^{2}G_{\sigma }}{\partial x^{2}}}=\left({\frac {x^{2}}{\sigma ^{4}}}-{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)G_{\sigma }={\frac {x^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}G_{\sigma }.$

Отже,

${\frac {\partial G_{\sigma }}{\partial \sigma }}=\sigma {\frac {\partial ^{2}G_{\sigma }}{\partial x^{2}}}$

для двох близьких масштабів σ та σ+Δσ похідну можна наблизити скінченою різницею

$G_{\sigma +\Delta \sigma }(x)-G_{\sigma }(x)\approx \Delta \sigma {\frac {\partial G_{\sigma }}{\partial \sigma }}=\Delta \sigma \sigma {\frac {\partial ^{2}G_{\sigma }(x)}{\partial x^{2}}}.$

Таким чином, різниця двох гаусових функцій із близькими масштабами, з точністю до знака та множника нормування, наближає вейвлет Рікера. На практиці DoG часто обчислювально вигідніша за безпосереднє обчислення похідних, особливо якщо гаусові згладжування для кількох масштабів уже отримано. При цьому за достатньо близьких масштабів DoG і відповідна похідна гаусової функції відрізняються незначно.

Багатовимірне узагальнення

Лапласіан гаусової функції

Двовимірний вейвлет Рікера

Одновимірний вейвлет Рікера є, з точністю до знака та нормування, другою похідною гаусової функції. В $n$-вимірному декартовому просторі його узагальненням є лапласіан гаусової функції.

Для $n$-вимірного гаусового ядра

$G_{\sigma }(\mathbf {x} )={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {|\mathbf {x} |^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\qquad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},$

лапласіан має вигляд

$\nabla ^{2}G_{\sigma }(\mathbf {x} )={\frac {|\mathbf {x} |^{2}-n\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}G_{\sigma }(\mathbf {x} ).$

Відповідно, узагальнений вейвлет Рікера можна визначити, з точністю до множника нормування, як

$\psi _{\sigma }(\mathbf {x} )={\frac {n\sigma ^{2}-|\mathbf {x} |^{2}}{\sigma ^{4}}}G_{\sigma }(\mathbf {x} ).$

За $n=1$ ця формула переходить у звичайний одновимірний вейвлет Рікера, а за $n=2$ його ядро, з точністю до знака та нормування, збігається з поширеним у обробці зображень фільтром лапласіан гаусіана (ЛГ, англ. Laplacian of Gaussian, LoG).

$\psi (x,y)={\frac {1}{\pi \sigma ^{4}}}\left(1-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$

Існують також анізотропні та еліптичні узагальнення. Зокрема, еліптичний вейвлет Рікета визначають як від'ємний лапласіан анізотропної гаусової функції.

Для $n$-вимірної гаусової функції з коваріаційною матрицею $\Sigma$

$G_{\Sigma }(\mathbf {x} )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}|\Sigma |^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}\mathbf {x} \right)$

відповідне узагальнення має вигляд

$\psi _{\Sigma }(\mathbf {x} )=-\nabla ^{2}G_{\Sigma }(\mathbf {x} )=\left(\operatorname {tr} \Sigma ^{-1}-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-2}\mathbf {x} \right)G_{\Sigma }(\mathbf {x} ).$

Сферичний вейвлет Рікера

Для аналізу функцій, визначених на поверхні сфери, застосовують сферичний вейвлет Рікера (англ. Spherical Mexican Hat Wavelet, SMHW). Його не можна отримати простим перенесенням евклідового масштабування на сферу, оскільки сфера не має глобальної операції розтягнення, аналогічної масштабуванню площини.

Один із поширених варіантів SMHW отримують за допомогою стереографічної проєкції: звичайний двовимірний вейвлет Рікера масштабують у дотичній площині та відображають назад на сферу. Перенесенню вейвлета по сфері при цьому відповідають просторові обертання, а масштаб задає його характерний кутовий розмір. Така конструкція зберігає ізотропність, умову допустимості та нульовий інтеграл вейвлета, а в границі малих кутових масштабів переходить у звичайний двовимірний вейвлет Рікера.

Для функції на сфері вейвлетне перетворення утворює набір карт коефіцієнтів, параметризованих положенням на сфері та масштабом $R$. Це дозволяє локалізувати структури одночасно за небесними координатами та характерним кутовим розміром.

Застосування

Обробка зображень і комп'ютерний зір

У двовимірному випадку вейвлет Рікера відповідає, з точністю до знака та нормування, лапласіану гаусової функції (англ. Laplacian of Gaussian, LoG). Завдяки цьому він застосовується в низці класичних методів обробки зображень і комп'ютерного зору.

У задачах виявляння контурів контури можна визначати за перетинами нуля результату згортки з LoG. Такий підхід лежить в основі алгоритму Марра — Гілдрет, у якому гаусове згладжування пригнічує дрібномасштабний шум, а лапласіан виділяє зміни яскравості другого порядку.

Інше важливе застосування — виявляння плям. На заданому масштабі світлі та темні плямоподібні структури відповідають локальним екстремумам відгуку LoG. Якщо масштаб структури наперед невідомий, оператор обчислюють для набору масштабів і шукають екстремуми одночасно за просторовими координатами та масштабом. Для коректного порівняння відгуків на різних масштабах зазвичай використовують масштабно нормований лапласіан $\sigma ^{2}\nabla ^{2}L$; положення екстремуму за $\sigma$ дає оцінку характерного розміру структури.

Таким чином, LoG застосовують не лише як окремий фільтр із фіксованим значенням $\sigma$, а й у багатомасштабних поданнях, де відгуки лапласіана обчислюють на послідовності масштабів. Такі подання використовують для виявляння та автоматичного вибору масштабу локальних структур, зокрема плям, контурів та інших особливостей зображення. На практиці масштабно нормований LoG часто наближують різницею гауссіанів, що, зокрема, використано в алгоритмі SIFT.

Мас-спектрометрія та хроматографія

Вейвлет Рікера застосовують для багатомасштабного виявлення піків у мас-спектрометричних та хроматографічних сигналах. Завдяки симетричній формі з одним центральним максимумом він добре узгоджується з формою багатьох експериментальних піків і використовується як материнський вейвлет у неперервному вейвлетному перетворенні.

Для кожного положення сигналу перетворення обчислюють на кількох масштабах, що відповідають різній характерній ширині піка. Максимуми коефіцієнтів, які зберігаються на послідовності масштабів, утворюють лінії хребтів (англ. ridge lines) у просторі «положення — масштаб». Це дозволяє відрізняти стійкі піки від шумових флуктуацій, а масштаб найбільшого відгуку використовувати для оцінювання ширини піка.

Такий підхід реалізовано, зокрема, у програмному пакеті MassSpecWavelet для обробки мас-спектрів та в алгоритмі centWave пакета XCMS, де неперервне вейвлетне перетворення застосовують для виявлення хроматографічних піків різної ширини в LC-MS даних.

Астрономія

Вейвлет Рікера та похідні від нього вейвлети широко застосовують в астрономічній обробці зображень переважно для багатомасштабного виявлення компактних і протяжних джерел. Алгоритми цього типу використовуються, зокрема, у програмному забезпеченні аналізу даних космічної обсерваторії XMM-Newton. На основі вейвлета Рікера було розроблено сімейство Mexican Hat Wavelet Family, член цього сімейства MHW2, використовувався в алгоритмах виявлення компактних джерел під час побудови каталогів космічної місії Планк.

Особливо широкого застосування вейвлет Рікета набув під час аналізу карт реліктового випромінювання . Сферичний вейвлет Рікера застосовували для статистичного аналізу структури реліктового випромінювання на різних кутових масштабах і пошуку відхилень від гаусової статистики. Зокрема, аналіз карт коефіцієнтів SMHW дозволив локалізувати негаусову особливість у даних WMAP, відому як Холодна пляма.