Eksponentna porazdelitev

Eksponentna porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Opisuje časovne intervale med posameznimi dogodki v Poissonovi porazdelitvi. To so procesi, ki se enakomerno pojavljajo nepretrgoma in neodvisno.

Eksponentna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
oznaka	$Exp(\lambda )\!$
parametri	$\lambda >0\,$ parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila) (realno število)
interval	$[0,\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\lambda e^{-\lambda x}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-e^{-\lambda x}\!$
pričakovana vrednost	${\frac {1}{\lambda }}\,$
mediana	${\frac {\ln(2)}{\lambda }}\,$
modus	$0\,$
varianca	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}\,$
simetrija	$2\,$
sploščenost	$6\,$
entropija	$1-\ln(\lambda )\,$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,$
karakteristična funkcija	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,$

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev je

f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x},&\;x\geq 0,\\0,&\;x<0.\end{matrix}}\right.

kjer je

$\lambda >0\!$ parameter porazdelitve, ki ga imenujemo parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila).

F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x},&\;x\geq 0,\\0,&\;x<0.\end{matrix}}\right.

{\frac {1}{\lambda }}\,

.

Varianca je enaka

{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\,

.

Sploščenost je enaka $6\,$

\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,

\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,

Minimum neodvisnih slučajnih spremenljivk, ki so porazdeljene eksponentno, je tudi eksponentno porazdeljena slučajna spremenljivka. Naj bodo $X_{1},\ldots ,X_{n}\!$ neodvisne slučajne spremenljivke, za katere velja $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})\!$ in je $Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\!$ . Potem velja tudi : $Y\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)$ .
Eksponentna porazdelitev je posebni primer porazdelitve gama

\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda )\!

Vsota neodvisnih eksponentnih porazdelitev ima gama porazdelitev. Naj bodo $X_{1},\ldots ,X_{n}\!$ neodvisne slučajne spremenljivke za katere velja $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})\!$ , potem velja tudi

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,\lambda )\!

.

Eksponentna porazdelitev s parametrom $\lambda =1/2\!$ je poseben primer porazdelitve hi-kvadrat

\mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2)\!

.

Za slučajno spremenljivko $Y\!$ za katero velja, da ima Weibullovo porazdelitev, lahko zapišemo $Y\sim \operatorname {Weibull} (\gamma ,\lambda )$ . Naj bo $Y=X^{1/\gamma }\,$ . Slučajna spremenljivka $X\!$ naj ima pri tem eksponentno porazdelitev oziroma $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda ^{-\gamma })$ . Velja tudi, da ima vsaka eksponentna porazdelitev tudi Weibullovo porazdelitev.
Slučajna spremenljivka $Y\!$ naj ima Rayleighovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )$ . Pri tem naj bo $Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}$ . Slučajna spremenljivka $X\!$ pa naj ima eksponentno porazdelitev $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ .

Če ima slučajna spremenljivka $Y\!$ Gumbelovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y\sim \operatorname {Gumbel} (\mu ,\beta )$ . Naj velja $Y=\mu -\beta \log(X/\lambda )\,$ . Pri tem ima slučajna spremenljivka $X\!$ eksponentno porazdelitev ali $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ .

Slučajna spremenljivka $Y\!$ naj ima Laplaceovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y\sim \operatorname {Laplace}$ . Pri tem za dve eksponentno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki $X_{1}\,$ in $X_{2}\,$ velja $Y=X_{1}-X_{2}\,$