N-esfera

 Nota: Se procura uma região delimitada por uma esfera-n, veja n-bola.

Em matemática, uma n-esfera (ou hiperesfera) de raio $r$ é a generalização da circunferência e da esfera ordinária para espaços euclidianos de dimensão arbitrária. A $n$-esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço euclidiano de dimensão $n+1$ que estão a uma distância fixa $r$ de um ponto central fixo.

Uma 2-esfera representada no espaço euclidiano tridimensional. Trata-se de uma superfície de dimensão 2 que delimita a 3-bola.

Em termos de topologia, a $n$-esfera é uma variedade diferenciável compacta de dimensão $n$, sem bordo, e que é o bordo da n-bola de dimensão $n+1$. Costuma-se denotar a $n$-esfera unitária (de raio $r=1$) por $\mathbb {S} ^{n}$ ou $S^{n}$.

Definição

Para qualquer número natural $n$, a $n$-esfera de raio $r>0$ centrada em $c=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}$ é formalmente definida como o subconjunto de $\mathbb {R} ^{n+1}$:

$S^{n}(c,r)=\left\{x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}:\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2}=r^{2}\right\}$

Quando o centro está na origem ($c=0$) e o raio é unitário ($r=1$), a esfera é chamada de $n$-esfera unitária e é dada por:

$S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1\right\}$

Distinção de dimensão

A dimensão da $n$-esfera é $n$, embora ela esteja naturalmente imersa no espaço euclidiano de dimensão $n+1$:

• A 0-esfera ($S^{0}$) é o par de pontos discretos $\{-r,r\}\subset \mathbb {R} ^{1}$, correspondendo às extremidades de um segmento de reta (uma 1-bola).
• A 1-esfera ($S^{1}$) é a circunferência habitual no plano $\mathbb {R} ^{2}$, que delimita o disco (uma 2-bola).
• A 2-esfera ($S^{2}$) é a superfície esférica bidimensional no espaço $\mathbb {R} ^{3}$, que delimita a bola tridimensional sólida (uma 3-bola).
• A 3-esfera ($S^{3}$ ou glomo) é uma variedade tridimensional imersa no espaço quadridimensional $\mathbb {R} ^{4}$.
• De modo geral, a $n$-esfera ($S^{n}$) é uma hipersuperfície $n$-dimensional contida em $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Exemplos de baixa dimensão

Símbolo	Nome comum	Espaço ambiente	Dimensão	Descrição
$S^{0}$	Par de pontos	$\mathbb {R} ^{1}$	0	Dois pontos isolados $\{-1,1\}$.
$S^{1}$	Circunferência	$\mathbb {R} ^{2}$	1	Curva unidimensional fechada.
$S^{2}$	Esfera	$\mathbb {R} ^{3}$	2	Superfície esférica clássica.
$S^{3}$	3-esfera (Glomo)	$\mathbb {R} ^{4}$	3	Superfície tridimensional curva no espaço 4D.

Volume e área da superfície

Seja $B^{n+1}(r)$ a bola sólida de dimensão $n+1$ e raio $r$ delimitada pela $n$-esfera $S^{n}(r)$. A medida da $n$-esfera corresponde à "área" de sua hipersuperfície de dimensão $n$, enquanto a $(n+1)$-bola possui um "hipervolume" de dimensão $n+1$.

Usando a função gama $\Gamma (z)$, o hipervolume $V_{n+1}(r)$ da $(n+1)$-bola e a área de superfície $A_{n}(r)$ da $n$-esfera são expressos por:

$V_{n+1}(r)={\frac {\pi ^{(n+1)/2}}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}+1\right)}}r^{n+1}$

$A_{n}(r)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}V_{n+1}(r)={\frac {2\pi ^{(n+1)/2}}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}r^{n}$

Fórmulas explícitas em baixas dimensões

$n$	Medida da superfície $A_{n}(r)$ da $n$-esfera	Volume $V_{n+1}(r)$ da $(n+1)$-bola
0	$2$	$2r$
1	$2\pi r$	$\pi r^{2}$
2	$4\pi r^{2}$	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
3	$2\pi ^{2}r^{3}$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$
4	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$
5	$\pi ^{3}r^{5}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$

Comportamento assintótico

À medida que a dimensão $n\to \infty$, tanto o volume da bola unitária quanto a área da esfera unitária convergem rapidamente para zero:

$\lim _{n\to \infty }V_{n}(1)=0\quad {\text{e}}\quad \lim _{n\to \infty }A_{n}(1)=0$

O volume máximo da bola unitária ocorre para a dimensão $n=5$ (onde $V_{5}(1)\approx 5{,}2638$), enquanto a área da esfera unitária atinge seu valor máximo em $n=7$ (onde $A_{7}(1)\approx 33{,}0734$).

Coordenadas hiperesféricas

Assim como as coordenadas polares generalizam-se para coordenadas esféricas em $\mathbb {R} ^{3}$, é possível definir um sistema de coordenadas hiperesféricas em $\mathbb {R} ^{n+1}$. Qualquer ponto pode ser parametrizado por uma distância radial $r$ e $n$ ângulos $\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n}$, onde $\phi _{1},\dots ,\phi _{n-1}\in [0,\pi ]$ e $\phi _{n}\in [0,2\pi )$:

${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-1})\cos(\phi _{n})\\x_{n+1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-1})\sin(\phi _{n})\end{aligned}}$

O elemento de volume na $n$-esfera unitária induzido pela métrica euclidiana é:

$\mathrm {d} \Omega _{n}=\sin ^{n-1}(\phi _{1})\sin ^{n-2}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-1})\,\mathrm {d} \phi _{1}\,\mathrm {d} \phi _{2}\cdots \mathrm {d} \phi _{n}$

Projeção estereográfica

Ilustração da projeção estereográfica a partir do polo norte em direção a um plano.

A projeção estereográfica é uma transformação conforme que mapeia a esfera $S^{n}$ privada de um ponto (geralmente o polo norte $N=(0,\dots ,0,1)$) de forma difeomórfica ao espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$.

A projeção $p\colon S^{n}\setminus \{N\}\to \mathbb {R} ^{n}$ associa o ponto $x=(x_{1},\dots ,x_{n+1})$ ao ponto $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ por:

$y_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{n+1}}},\quad i=1,\dots ,n$

A transformação inversa é dada por:

$x_{i}={\frac {2y_{i}}{1+\|y\|^{2}}}\quad (1\leq i\leq n),\qquad x_{n+1}={\frac {\|y\|^{2}-1}{\|y\|^{2}+1}}$

Esta projeção demonstra que $S^{n}$ é a compactificação de um ponto de $\mathbb {R} ^{n}$, isto é, $S^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$.

Propriedades topológicas e geométricas

Homologia e Homotopia

Os grupos de homologia simplicial e singular da $n$-esfera com coeficientes inteiros são:

$H_{k}(S^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{se }}k=0{\text{ ou }}k=n\\0&{\text{caso contrário}}\end{cases}}\quad ({\text{para }}n\geq 1)$

Para os grupos de homotopia $\pi _{k}(S^{n})$:

• $\pi _{k}(S^{n})=0$ para todo $k<n$.
• $\pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z}$, onde o gerador é o grau topológico da aplicação identidade (Grau de Brouwer).
• Para $k>n$, os grupos $\pi _{k}(S^{n})$ podem ser não triviais e exibem estruturas algébricas ricas (por exemplo, $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$ por meio da Fibração de Hopf).

Teorema da Bola Cabeluda

Pelo Teorema da bola cabeluda, uma $n$-esfera $S^{n}$ admite um campo vetorial tangente contínuo que nunca se anula se, e somente se, $n$ for um número ímpar. Isso significa que $S^{2}$ (a superfície esférica comum) não pode ser "penteada" sem que haja ao menos um ponto de descontinuidade ou vértice nulo.

Paralelizabilidade e Estruturas de Lie

Uma esfera $S^{n}$ é dita paralelizável se seu feixe tangente for trivial. Pelo teorema de Adams, as únicas esferas paralelizáveis são:

• $S^{0}$, $S^{1}$, $S^{3}$ e $S^{7}$.

Dentre elas, apenas as três primeiras admitem estrutura de grupo de Lie:

• $S^{0}\cong \mathbb {Z} _{2}$ (grupo discreto de 2 elementos).
• $S^{1}\cong \mathrm {U} (1)\cong \mathrm {SO} (2)$ (grupo circular / números complexos unitários).
• $S^{3}\cong \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Sp} (1)$ (grupo unitário especial / quaterniões unitários).
• $S^{7}$ é parametrizada pelos octoniões unitários, mas não forma um grupo de Lie devido à falta de associatividade.

Esferas exóticas

Em 1956, John Milnor provou a existência de esferas exóticas: variedades diferenciáveis que são homeomorfas à 7-esfera padrão $S^{7}$, mas não são difeomorfas a ela. Posteriormente, mostrou-se que existem exatamente 28 estruturas diferenciáveis distintas na 7-esfera.

Ver também

• 3-esfera
• Variedade (matemática)
• Geometria não euclidiana

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Hypersphere». MathWorld (em inglês)