निरपेक्ष मान

गणितमे कौनो वास्तविक सङ्ख्याके निरपेक्ष मान या 'निरपेक्ष मूल्य' या 'मापाङ्क' |a| ऊ सङ्ख्याके चिह्नके बिन ओकर आङ्किक मानके बराबर होवहे । उदाहरण लागि 3 के निरपेक्ष मान 3 हे, आउ -3 ओ के निरपेक्ष मान 3 ए हे । कौनो सङ्ख्याके निरपेक्ष मानके ऊ सङ्ख्याके शून्यसे दूरीके बराबर बुझल जा सकहे ।

वास्तविक सङ्ख्याला निरपेक्ष मान फलनके ग्राफ

उदाहरण

• |5| = abs(5) = 5
• |-2| = abs(-2) = 2

वास्तविक सङ्ख्याला निरपेक्ष मानके उपर देल गेल परिभाषाके कौनो अन्य गणितीय क्षेत्रमे सामान्यीकरण कैल गेल हे । उदाहरणला समिश्र सङ्ख्योला निरपेक्ष मान परिभाषित कैल जाहे । एकर अतिरिक्त quaternions, ordered rings, fields आउ सदिश अवकाशोला (vector spaces) निरपेक्ष मान परिभाषित कैल जाहे ।

वास्तविक सङ्ख्याके निरपेक्ष मान

वास्तविक सङ्ख्या a के निरपेक्ष मान | a | (राशिके दुनो दन्ने उर्ध्व रेखा द्वारा) निरूपित कैल जाहे । आउ एकर परिभाषा निम्नलिखित प्रकारसे कैल जाहे -

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}$

ई परिभाषासे स्पष्ट हे कि कौनो राशिके निरपेक्ष मान या त धनात्मक होत या शून्य होत; ई ऋणात्मक कहियो नै हो सकत ।

चूँकि बिन चिह्नके वर्गमूलके सङ्केत ऊ राशिके धनात्मक वर्गमूलके इङ्गित करहे; एकर अर्थ भेल कि-

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

$(1)$

एही कहियो-कहियो निरपेक्ष मानके परिभाषाके तौरपर प्रयोग कैल जाहे ।

निरपेक्ष मानके निम्नलिखित चार मूलभूत गुण होवहे -

$|a|\geq 0$	$(2)$	Non-negativity
$|a|=0\iff a=0$	$(3)$	Positive-definiteness
$|ab|=|a||b|\,$	$(4)$	Multiplicativeness
$|a+b|\leq |a|+|b|$	$(5)$	Subadditivity

निरपेक्ष मानके अन्य महत्वपूर्णण गुण निम्नलिखित हे -

$|-a|=|a|\,$	$(6)$	Symmetry
$|a-b|=0\iff a=b$	$(7)$	Identity of indiscernibles (equivalent to positive-definiteness)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	$(8)$	Triangle inequality (equivalent to subadditivity)
$|a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (if }}b\neq 0)\,$	$(9)$	Preservation of division (equivalent to multiplicativeness)
$|a-b|\geq ||a|-|b||$	$(10)$	(equivalent to subadditivity)

यदि b > 0, त असमिका (inequalities) से सम्बन्धित दु अन्य उपयोगी गुण ई हे -

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or }}b\leq a$

उपरोक्य सम्बन्धके प्रयोग ऊसभ असमताके हल निकालेला कैल जा सकहे जेकरामे निरपेक्ष मानके प्रयोग भेल होवे । उदाहरण लागि,

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

समिश्र सङ्ख्याके निरपेक्ष मान

कौनो समिश्र सङ्ख्या z के निरपेक्ष मान मूलबिन्दु (origin) से z के दूरी r के बराबर होवहे । चित्रसे एहु स्पष्ट हे कि z आउ ओकर समिश्र युग्म (complex conjugate) साँचा:Overline दुनोके निरपेक्ष मान एकसमान होवहे ।

कौनो समिश्र सङ्ख्या,

$z=x+iy,\,$

जन्ने x आउ y वास्तविक सङ्ख्या हैे, z के मापाङ्क |z| द्वारा प्रदर्शित कैल जाहे । एकरा निम्नलिखित प्रकारसे पारिभाषित करहे -

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

समिश्र सङ्ख्याके मापाङ्कमे उपरे वर्णित ऊ सभ गुण हे जे वास्तविक सङ्ख्याके मापाङ्कमे हे ।

यदि,

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )\,$

होवे आउ

${\overline {z}}=x-iy$

z के समिश्र युग्म होवे त,

${\begin{aligned}|z|&=r,\\|z|&=|{\overline {z}}|\end{aligned}}$

एवं

$|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}},$

z के मापाङ्कके वर्ग निम्नलिखित हे -

$|z|^{2}=z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}.$

बाहरी कड़ी

• प्लैनेटमैथ पर absolute value ।

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Absolute Value