Spatium topologicum

Spatium topologicum in mathematica est structura fundamentalis atque obiectum praecipuum topologiae, quod summatim dicitur spatium mathematicum^(en), in quo notio “vicinitatis^(en)” inter puncta intellegitur. Haec notio quam maxime generaliter atque quam minime restricte exprimitur, neque per vicinitatem numericam necessario mensuratur.^[1] Quod spatium topologicum proprie distinguit est eius forma et relatio inter partes, non proprietates metricae.

Tale spatium est classis cuius elementa puncta appellantur et cui est structura topologica^(en). Ibi non iam requiritur vicinitatem certam inter puncta definire, sed potius quandam classem subclassium, quae apertae appellantur, ex quibus omnis notio vicinitatis deducitur.^[2] Ex his apertis subclassibus conceptūs fundamentales definiuntur, exempli gratia convergentia^(it), continuitas functionum^(en), limes^(en), conexio^(en), atque homeomorphismus^(en), qui est quasi aequivalentia topologica inter spatia.

Topologia super classem $X$ est collectio apertarum subclassium eius, quae his condicionibus satisfaciunt:

Classis vacua ipsaque classis $X$ sunt apertae.
Unio cuiuslibet familiae classium apertarum est aperta.
Intersectio finita classium apertarum est aperta.

Par $(X,\tau )$ —ubi $\tau$ est talis collectio—dicitur spatium topologicum.

Per hanc structuram notiones analyticae et geometricae fundamentales definiri possunt, velut:

Hae notiones non iam e vicinitate, sed tantumodo e structura topologica pendent.

Quam ob rem spatia topologica maiorem generalitatem quam spatia metrica^(en) praebent, nam omne spatium metricum naturaliter structuram topologicam inducit, etiamsi non omne spatium topologicum ex aliqua metrica oritur. Hanc propter generalitatem, topologia facta est instrumentum perutile in variis partibus mathematicae, inter quas numerantur analysis mathematica, geometria algebraica^(en), et topologia algebraica.

Praeterea, quod in hoc genere studii maxime spectatur non sunt lineamenta quae sub deformationibus metricis mutantur, sed illa quae, etiam si spatium continuo modo flectatur modo extendatur, invariata permanent; quae idcirco invariabilia topologica vocantur.

Definitiones

Spatia topologica per plures definitiones^(en) aequipollentes definiri solent. Hic quinta exponimus definitionum: per apertas classes, clausas classes, basim^(en), clausuram^(en), et vicinitates^(en). Saepe prima definitio (apertarum classium), infra, adhibetur.^[3]

Omnes hae definitiones statuunt spatium topologicum esse classem punctorum (hic $X$ appellatam) sub structura topologica. Modus tantum huius structurae topologiae definiendae differt.

Definitio structurae topologicae per apertas classes

Haec definitio, quam adhibere consuetius est mathematicis, structuram topologicam super $X$ definit classem $\tau$ apertarum subclassium $X$ , ubi apertae classes definiuntur tria per axiomata:

Classis vacua ipsaque classis $X$ sunt apertae.
Unio cuiuslibet familiae classium apertarum est aperta.
Intersectio finita classium apertarum est aperta.

$\tau$ etiam appellatur topologia^(en).

Definitio structurae topologicae per clausas classes

Clausae classes sunt complementa^(en) (in $X$ ) apertarum classium. Ergo similiter tria per axiomata possunt definiri:

Classis vacua ipsaque classis $X$ sunt clausae.
Intersectio cuiuslibet familiae classium clausarum est clausa.
Unio finita classium clausarum est clausa.

Definitio structurae topologicae per basicas apertas classes

Haec definitio difficilior est definitionibus primā secundāque, sed aliquando esse utilior eis invenitur. Structura topologica super $X$ per classem ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))$ —quae appellatur basis (et elementa eius apertae classes basicae appellantur)—definitur. Basis duobus axiomatibus constringitur:

Omnia puncta cuidam basicae apertae classi insunt (aequivalenter: unio basicarum apertarum classium est tota classis $X$ ).
Intersectio $A\cap B$ (ubi $A$ et $B$ sunt basicae apertae classes) est unio aliarum basicarum apertarum classium.

Uniones basicarum apertarum classium dicuntur esse apertae, et hoc modo aequipollentia inter hanc et primam definitionem probari potest.

Definitio structurae topologicae per axiomata Kuratovii

Aliquando structura topologica etiam per clausuram^(en) definitur. Clausura $\mathbf {cl$ est functio a subclassibus $X$ ad subclasses $X$ agens quae quattuor axiomatibus sequentibus oboedit, axiomatibus Kuratovii^(en) appellatis:

$\mathbf {cl} (\emptyset )=\emptyset$
$A\subseteq \mathbf {cl} (A)$
$\mathbf {cl} (\mathbf {cl} (A))=\mathbf {cl} (A)$
$\mathbf {cl} (A\cup B)=\mathbf {cl} (A)\cup \mathbf {cl} (B)$

Clausura $\mathbf {cl} (A)$ classis $A$ est minima superclassis clausa $A$ ; atque clausa classis est classis quae sua clausura est. Hoc modo aequipollentia inter hanc et secundam definitionem structurae topologicae probari potest.

Definitio structurae topologicae per vicinitates

Structura topologia etiam per functionem ${\mathcal {V}}$ a punctis $X$ ad classes subclassium $X$ agentem potest definiri. Elementa classis ${\mathcal {V}}(x)$ appellantur vicinitates^(en) puncti $x$ .

Oportet vicinitates tribus axiomatibus oboedire:

Superclassis vicinitatis est vicinitas;
Intersectio duarum vicinitatum est vicinitas;
Omni puncto est dumtaxat una vicinitas.

Vicinitas puncti $x$ est classis apertam classem continens quae ipsum punctum $x$ continet; atque aperta classis est vicinitas omnium elementorum suorum. Hoc modo aequipollentia inter hanc et primam definitionem structurae topologicae probari potest.

Conceptūs

Si ${\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}$ sunt topologiae super eandem classem $X$ punctorum, ${\mathcal {O}}_{1}$ dicitur infirmior et ${\mathcal {O}}_{2}$ dicitur subtilior. Tales appellationes ex hoc oriuntur, quod topologia subtilior plures distinctiones inter puncta efficit quam infirmior.

^⚓Tabula $f:A\rightarrow B$ inter spatia topologica dicitur continua^(en) si cuiuslibet classis apertae $O$ in $B$ imago inversa^[4] per $f^{-1}(O)$ aperta est in $A$ .

Duae topologiae dicuntur inter se aequivalentes si exstat tabula continua $f:A\rightarrow B$ quae conversionem quoque continuam $f^{-1}:B\rightarrow A$ admittit; talis functio appellatur homoeomorphismus^(en) $A$ inter $B$ (vel ab $A$ in $B$ ).

Operationes super spatia topologica

Ut in theoria classium definiuntur uniones, intersectiones, producta (Cartesiana), partitiones^(en), aliaeque operationes super classes, et in theoria gregum partitiones, producta, coproducta^(en), et cetera definiuntur, sic similes quoque operationes definiuntur in theoria spatiorum topologicorum.

Productum $\Pi _{i\in I}X_{i}$ (ubi $X_{i}$ sunt spatia topologica) est productum classium secundum theoriam classium, cui topologia producti^(en) imponitur. Producti topologia statuit aperta esse omnia producta $\Pi _{i\in I}O_{i}$ in quibus singula $O_{i}\subseteq X_{i}$ sunt aperta atque, omnibus indicibus praeter finitissime multos, $O_{i}=X_{i}$ .^[5]. Etiam statuit apertas esse omnes uniones horum productorum.
Qualis casus specialis huius definitionis, productum $X\times Y$ duorum spatiorum topologicorum est classis $X\times Y$ , topologiā ubi apertae sunt omnes uniones classium $O_{1}^{\in {\mathcal {P}}(X)}\times O_{2}^{\in {\mathcal {P}}(Y)}$ —ubi $O_{1}$ aperta est in $X$ et $O_{2}$ in $Y$ .
Coproductum $\amalg _{i\in I}X_{i}$ (ubi $X_{i}$ sunt spatia topologica) est seiuncta unio^(en) $\amalg _{i\in I}X_{i}$ spatiorum $X_{i}$ (secundum theoriam classium), topologiā ubi apertae sunt uniones apertarum subclassium $X_{i}$ .
Si $\sim$ est relatio aequivalentiae super spatium topologicum $X$ , spatium partiens^(en) $X$ sub relatione $\sim$ est classis $X/\sim$ cui topologia partitionis^(en) datur. Huius topologiae definitio est haec: classis $U\subseteq X/\sim$ aperta est si et solum si eius praeimago per proiectionem canonicam $\pi :X\rightarrow X/\sim$ aperta est in $X$ .

Nexus interni

Bibliographia

Dixmier, Iacobus (1984). General Topology. Novi Eboraci, Berolini, Heidelbergae, Tokii: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90972-9
Viro, O. Y.; Ivanov, O. A.; Kharlamov, V. M. & Netsvetaev, N. Y. (2008). Elementary Topology Problem Textbook. ISBN 9780821845066
Stacks Project Authors, The (2026). The Stacks Project

Notae

↑ Velut non quantitativa notio ut in spatium metricum^(en), sed qualitativa. Vide clarificationes huius notionis per axiomata Kuratovii^(en) et per vicinitates^(en), quae clarificationes etiam tractata sunt infra.
↑ Formaliter, spatium topologicum definitur esse par ordinatum $(X,{\mathcal {O}})$ , in quo $X$ sibi vult classem punctorum et ${\mathcal {O}}$ sibi vult topologiam^(en) super $X$ , i.e. classis quarumdam subclassium $X$ (apertae appellatarum), quae clausa est sub intersectionibus finitis et unionibus tam finitis quam infinitis—i.e. apertae sunt omnes uniones omnesque finitas intersectiones classium apertarum. Cfr. Dixmier, 2008, pp. 4–5. Etenim vicinitates^(en) puncti $x$ definiuntur esse superclasses apertarum classium quae ipsum $x$ continent.
↑ Dixmier, 1984, pp. 4–5; Viro et al., 2008, p. 11.
↑ Seu praeimago.
↑ Sine hac condicione definivissemus capsae topologiam^(en), non producti topologiam^(en).

[1] Velut non quantitativa notio ut in spatium metricum^(en), sed qualitativa. Vide clarificationes huius notionis per axiomata Kuratovii^(en) et per vicinitates^(en), quae clarificationes etiam tractata sunt infra.

[2] Formaliter, spatium topologicum definitur esse par ordinatum $(X,{\mathcal {O}})$ , in quo $X$ sibi vult classem punctorum et ${\mathcal {O}}$ sibi vult topologiam^(en) super $X$ , i.e. classis quarumdam subclassium $X$ (apertae appellatarum), quae clausa est sub intersectionibus finitis et unionibus tam finitis quam infinitis—i.e. apertae sunt omnes uniones omnesque finitas intersectiones classium apertarum. Cfr. Dixmier, 2008, pp. 4–5. Etenim vicinitates^(en) puncti $x$ definiuntur esse superclasses apertarum classium quae ipsum $x$ continent.

[3] Dixmier, 1984, pp. 4–5; Viro et al., 2008, p. 11.

[4] Seu praeimago.

[5] Sine hac condicione definivissemus capsae topologiam^(en), non producti topologiam^(en).

[1]