虚数単位 （きょすうたんい、英 : imaginary unit ）は、2乗 して −1 数 である:
複素数平面 において、虚数単位 i は、原点中心の90°回転の作用 を表し、2乗 すると − 1
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
虚数単位 i は − 1平方根 の一つである。
i は実数でない。実数 単位 1 , 虚数単位 i は R 線型独立 である。
実数体 に虚数単位 i を添加すると、四則演算 ができる数の体系が得られる。この拡大体 の元 を複素数
虚数単位 i は実数でないため、感覚的には存在しない数ととらえられがちであるが、実数 C 直積集合 の元として、実数の対（ハミルトン の定義）、行列 表現、多項式環 の剰余環 などにより実現できる。
複素数平面 では、虚数単位 i は、直交座標 表示すると (0, 1) に当たる数である。
複素数に i を（左から）作用 させると、複素数平面上で原点中心の 90° 回転 になる。特に、虚数単位 i は、複素数平面上で実数単位 1 を原点中心に 90° 回転させたものである。
虚数単位を i で表したのはオイラー で、1770年頃である[ 1] i はラテン語 の imaginarius の頭文字から採られている[ 2]
なお、文字 i が虚数単位以外の意味（電流 など）として使われる場合に、重複を避けるべくj など別の文字で虚数単位を表すことがある。
積 の交換法則 などが成り立たないことを許容すると、相異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系を考えることができる。3個の虚数単位（四元数 ）の場合は
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,j,k}
i
1
,
i
2
,
⋯
{\displaystyle i_{1},i_{2},\cdots }
虚数単位 i とは、二次方程式 x 2 + 1 = 0解 の一つのことである：
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
二次方程式 x 2 + 1 = 0(x + i )(x − i ) = 0 x = ±i 反数 である2つの値の違いでしかない。
虚数単位 i は − 1平方根 の一つであり、1 の原始4乗根でもある。
虚数単位 i は実数でない。実数単位 1 , 虚数単位 i は実数 R 線型独立 である。
− 1i を用いて、次により指定する：
a > 0√ a i 実数 体 に虚数単位 i を添加して得られる拡大体 の元（要素） を複素数 虚数
虚数単位 i の導入は、実係数の三次方程式 が相異なる 3 個の実数解を持つ場合、係数の加減乗除 と実冪根 では解が表せず（還元不能 ）、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かる過程で行われていった。
複素数全体 C j を添加した体の元を四元数 という。このとき、ij = k k も虚数単位である。すなわち k 2 = − 1i , j , k − i i と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R 3 の正規直交基底 を一組選び、
f
:
R
3
→
H
(
(
a
,
b
,
c
)
↦
a
i
+
b
j
+
c
k
)
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)}
によって写した像を新たに i , j , k 左手系 に取ると ij = − k
つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数 ・十六元数 はさらに多くの虚数単位を持つ。
虚数 は、16世紀 のイタリアで、三次方程式 を解く過程で発見された。
1637年 、ルネ・デカルト は、複素数の虚部を "仏 : Nombre imaginaire "（「想像上の数」）と名付けた。負の数でさえあまり認められていない時代に、実数直線 上にない数の導入には懐疑的であった。
1770年頃、オイラー は虚数単位を i と表した[ 1] i はラテン語 の imaginarius の頭文字から採られている[ 2]
直積集合 、剰余環などの概念により、負の数の平方根を用いない複素数の構成ができる。
実数体 R R 2
(a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) (a , b ) × (c , d ) = (ac − bd , ad + bc ) で入れると、(a , b ) は複素数 a + bi i は (0, 1) である。
四元数 は R 4 1 , 3個の虚数単位 i , j , k R 4 正規直交基底 に対応する。
実数体 R 多項式環 R [X ]X 2 + 1剰余環 R [X ]/(X 2 + 1)C 同型 である。
この対応で、虚数単位は同値類 [X ] である。
複素数 を C 作用 と見ると、複素数は R 2 一次変換 に対応し、その一次変換の表現行列 に対応する。この対応より、虚数単位は実二次正方行列
J
=
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
に対応する。このとき J 2 = − E E は 2 次単位行列 ）である。
四元数についても同様に、四元数体 H C 2
J
1
=
i
σ
3
=
(
i
0
0
−
i
)
,
J
2
=
i
σ
2
=
(
0
1
−
1
0
)
,
J
3
=
i
σ
1
=
(
0
i
i
0
)
{\displaystyle J_{1}=i\sigma _{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad J_{2}=i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad J_{3}=i\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}
という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。ここで
σ
k
(
k
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle \sigma _{k}\ (k=1,2,3)}
パウリ行列 である。また、C 2 R 4 4 次正方行列 として表現することもできる。詳しくは四元数 の項を参照されたい。
行列の積は結合的 であるので、八元数や十六元数は（結合法則 を満たさないため）行列表現できない。
n を整数、e をネイピア数 とする。
虚数単位の累乗
i
n
=
{
1
if
n
≡
0
(
mod
4
)
i
if
n
≡
1
(
mod
4
)
−
1
if
n
≡
2
(
mod
4
)
−
i
if
n
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle i^{\,n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
虚数単位 i は、C 作用 としては複素数平面 上での原点中心の 90° 回転に当たる。 虚数単位の虚数単位乗
i
i
=
e
−
(
1
2
+
2
n
)
π
{\displaystyle i^{\,i}=e^{-\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi }}
[ 3] 主値 での値は i i − π / 2 オンライン整数列大辞典 の数列 A049006 ）虚数単位の虚数単位乗根
i
i
=
i
1
i
=
i
−
i
=
e
(
1
2
+
2
n
)
π
{\displaystyle {\sqrt[{i}]{i}}=i^{\frac {1}{i}}=i^{-\,i}=e^{\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi }}
1の虚数単位乗
1
i
=
e
−
2
n
π
{\displaystyle 1^{i}=e^{-2n\pi }}
[ 4] 虚数単位の自然対数
log
i
=
(
1
2
+
2
n
)
π
i
{\displaystyle \log i=\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi i}
[ 5] 虚数単位の逆数
1
i
=
−
i
{\displaystyle {\frac {1}{i}}=-i}
虚数単位の平方根(1の原始8乗根) i の平方根 √ i
i
=
±
2
2
(
1
+
i
)
=
±
1
+
i
2
{\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)=\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}
虚数単位の立方根(1の原始12乗根) i の立方根i の立方根 3 √ i
i
3
=
−
i
,
±
3
+
i
2
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=-i\,,\,{\frac {\pm {\sqrt {3}}+i}{2}}}
ここまでおもに複素数の虚数単位について述べてきた。複素数を一般化した二元数 、分解型複素数 や二重数 についても、 j 2 = +1ε 2 = 0四元数 の i , j , k
1 2 片野善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房 、2003年8月25日、60頁。 1 2 クリフォード・ピックオーバー 著、根上生也・水原文 訳『ビジュアル数学全史 人類誕生前から多次元宇宙まで』岩波書店 、2017年5月26日、54頁。ISBN 978-4-00-006327-2 ↑ ポール・J・ナーイン『虚数の話』pp.270-271, 青土社 、2008年。 ↑ 表実『理工系の数学入門コース5 複素関数』p.115, 岩波書店 、1988年。 ↑ 岸正倫・藤本担孝『複素関数論』p.45, 学術図書出版社 、1980年。
![{\displaystyle {\sqrt[{i}]{i}}=i^{\frac {1}{i}}=i^{-\,i}=e^{\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571d65a0a77deb6af6a41ff7814301eac53f9dc3)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=-i\,,\,{\frac {\pm {\sqrt {3}}+i}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b3c8583ee029fd7609b041ef98f25a4d974b7a)