ポアンカレ変換

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。等長変換においては内積が保存される。

変換

ポアンカレ変換は並進変換とローレンツ変換からなる。ミンコフスキー空間の座標 $x$ に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。

並進変換: $x^{\mu }\mapsto x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }$
ローレンツ変換: $x^{\mu }\mapsto \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\,x^{\nu }$

ここで $a, Λ$ は変換のパラメータである。一般にポアンカレ変換は両者を組み合わせて $x^{\mu }\mapsto x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\,x^{\nu }+a^{\mu }$ と書くことができる。

ポアンカレ変換を繰り返すと $x''=\Lambda _{2}x'+a_{2}=\Lambda _{2}(\Lambda _{1}x+a_{1})+a_{2}=\Lambda _{2}\Lambda _{1}x+(\Lambda _{2}a_{1}+a_{2})$ となるので、ポアンカレ変換の合成は $(\Lambda _{2},a_{2})\circ (\Lambda _{1},a_{1})=(\Lambda _{2}\Lambda _{1},\Lambda _{2}a_{1}+a_{2})$ で表される。

変換パラメータが微小であるとき、座標の変分は $\delta x^{\mu }=\omega ^{\mu \nu }\,x_{\nu }+\epsilon ^{\mu }$ と表わされる。

ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場） $φ (x)$ に対するポアンカレ変換は $\phi '(x')=\phi (x)$ で与えられる。微小変換に対する場の変分は $\delta \phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)-\delta x^{\mu }\,\partial _{\mu }\phi (x)=\omega ^{\mu \nu }x^{\mu }\partial _{\nu }\phi -\epsilon ^{\mu }\partial _{\mu }\phi$ で与えられるので、並進の生成子を $P$ 、ローレンツ変換の生成子を $M$ とすれば、スカラー場への作用は

$i[P_{\mu },\phi (x)]=\partial _{\mu }\phi (x)$

$i[M_{\mu \nu },\phi (x)]=x_{\mu }\partial _{\nu }\phi (x)-x_{\nu }\partial _{\mu }\phi (x)$

となる。並進の生成子は運動量、ローレンツ変換の生成子は角運動量である。

ポアンカレ代数

ポアンカレ変換の生成子のなすリー代数はポアンカレ代数と呼ばれ、次の交換関係をみたす。

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0$

$[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })$

ポアンカレ群

ポアンカレ変換の為す変換群は、ポアンカレ群（ポアンカレぐん、英語: Poincaré group）と呼ばれる。 4次元時空におけるポアンカレ群は、10次元の非コンパクトリー群である。 $\langle P,M\rangle ={\text{ISO}}(d,1)=\mathbb {R} ^{d,1}\rtimes {\text{SO}}^{+}(d,1)$

正規部分群は、運動量 $P$ により生成される併進群 $\langle P\rangle =\mathbb {R} ^{d,1}\triangleleft {\text{ISO}}(d,1)$ である。併進群によるポアンカレ群の剰余群は、角運動量 $M$ により生成されるローレンツ群 $\langle M\rangle ={\text{SO}}^{+}(d,1)={\text{ISO}}(d,1)/\mathbb {R} ^{d,1}$ である。

ユニタリ表現

相対論的場の量子論ではポアンカレ変換によって状態ベクトルが変換を受ける。S系での状態ベクトルを、 $|\psi \rangle$ とし、 $S^{\prime }$ 系での状態ベクトルを、 $|\psi ^{\prime }\rangle$ とすると、 $|\psi ^{\prime }\rangle =U(\Lambda ,a)|\psi \rangle$ という関係で結ばれる。ここで、 $U(\Lambda ,a)$ はポアンカレ変換のユニタリ表現である。^[1]