कर्ल (गणित)

सदिश कलन में कुंतल या कर्ल ((Curl) एक सदिश संकारक (ऑपरेटर) है जो किसी त्रिविम सदिश क्षेत्र के अत्यणु घूर्णन का वर्णन करता है। क्षेत्र के प्रत्येक बिन्दु पर कर्ल को एक सदिश राशि द्वारा निरुपित किया जाता है।

त्रिबीमीय सदिश $\mathbf {A}$ या ${\vec {\mathrm {A} }}$ के कर्ल को भिन्न भिन्न तरीकों से प्रदर्शित किया जाता है, जैसे-

${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\ {\vec {\mathrm {A} }}$ या ${\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A}$ या ${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$ या ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {\mathrm {A} }}$ या ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathrm {A} }}$

कार्तीय निर्देशांक में

किसी सदिश बिन्दु फलन F(x,y,z), का कर्ल निम्नलिखित है-

$\nabla \times F(x,y,z)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}$

इसको निम्नलिखित प्रकार से लिखा जा सकता है-

$\nabla \times {\vec {F}}=\left|{\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right|$

बेलनी निर्देशांक में

$\nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}\left|{\begin{matrix}{\hat {\rho }}&\rho {\hat {\phi }}&{\hat {z}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{\rho }&\rho F_{\phi }&F_{z}\end{matrix}}\right|$

गोलीय निर्देशांक में

$\nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}sen\theta }}\left|{\begin{matrix}{\hat {r}}&rsen\theta {\hat {\phi }}&r{\hat {\theta }}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}\\&&\\F_{r}&rsen\theta F_{\phi }&rF_{\theta }\end{matrix}}\right|$