Infimum

Järjestetyn joukon $T$ osajoukon $S$ infimum eli suurin alaraja on joukon $T$ alkio, joka on suurin kaikista osajoukon $S$ kaikkia alkioita pienemmistä tai yhtä suurista alkioista. Infimum ei välttämättä kuulu osajoukkoon $S$. Jos joukko sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se myös joukon infimum. Infimum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.

Reaalilukujen joukon osajoukoille infimum määritellään joskus miinus äärettömyydeksi, jos se ei ole olemassa. Tällöin saatetaan sanoa, että kaikille reaalilukujoukoille on yksikäsitteinen infimum.

Jos $A$ on järjestetty joukko, niin sen infimumia merkitään symbolilla

$\inf _{a\in A}a$, $\inf\{a\,|\,a\in A\}$ tai $\inf A$.

Vähenevän lukujonon $A=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, jolle siis $a_{i+1}<a_{i}$, infimumia voi merkitä symbolilla

$\inf _{n\rightarrow \infty }a_{n}$.

Reaalilukujoukon infimum

Alarajan määritelmä. Olkoon $S\subset \mathbb {R}$.

Reaaliluku $e$ on joukon $S$ alaraja , jos ja vain jos kaikille $x\in S$ pätee $e\leq x$. Esimerkiksi eräs joukon $\{4,5\}\subset \mathbb {R}$ alarajoista on $2$, sillä $2\leq 4$ ja $2\leq 5$.

Joukko $S$ on alhaalta rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen alaraja. Esimerkiksi joukko $\{-n\,|\,n\in \mathbb {N} \}\subset \mathbb {R}$ ei ole alhaalta rajoitettu, koska se sisältää mielivaltaisen pieniä negatiivisia kokonaislukuja.

Infimumin määritelmä. Olkoon edelleen $S\subset \mathbb {R}$.

Luku $e\in \mathbb {R}$ on joukon $S$ infimum eli suurin alaraja, jos ja vain jos se on suurin joukon $S$ alarajoista eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon $S$ alaraja.

Tällöin merkitään $e=\inf(S)$. Siis joukolla $S$ on infimum ja kyseinen infimum on $e$.

Jos epätyhjällä joukolla $S$ on olemassa infimum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi infimum. Todistus. Olkoon $\inf(S)=e_{1}$ ja oletetaan, että joukolla on toinenkin infimum: $\inf(S)=e_{2}$. Siis $e_{2}$ on joukon $S$ eräs alaraja. Tällöin infimumin määritelmän nojalla $e_{1}\geq e_{2}$. Samoin saadaan $e_{2}\geq e_{1}$. Siis $e_{1}=e_{2}$.

Jos $\inf(S)$ on olemassa niin joukko $S$ on alhaalta rajoitettu. Toisaalta joukko voi olla alhaalta rajoitettu vaikka infimumia ei olisikaan olemassa. Esimerkiksi joukolla $\{q\,|\,q^{2}\geq 2\}\subset \mathbb {Q}$ on äärettömästi alarajoja, mutta suurin alaraja ${\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q}$, joten rationaalilukujen joukossa sillä ei ole infimumia.

Joukon minimi

Joukon pienimmän alkion eli minimin on kuuluttava joukkoon kun taas infimumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos infimum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko $S$ sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon $S$ infimum.

Jos $S\subset \mathbb {R}$ ja $\min(S)$ on olemassa niin $\min(S)=\inf(S)$.

Todistus. Olkoon $\min(S)=e$.

Tällöin $e$ on joukon $S$ alaraja eli kaikilla $x\in S$ pätee $x\geq e$.

Koska $e\in S$ niin $e\geq \inf(S)$. Toisaalta aikaisemman nojalla $e$ on joukon $S$ alaraja. Siis $e\leq \inf(S)$. Siis $e=\inf(S)$.

Infimumin osoittaminen

Yksinkertaisessakin tapauksessa infimumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla infimumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.

Lause 1. Olkoon $e=\inf(S)$ ja $\varepsilon >0$. Tällöin on olemassa $x\in S$, jolle $x<e+\varepsilon$. Toisin sanoen jos $e$ olisi yhtään pienempi, se ei enää olisi joukon $S$ alaraja.

Lause 2. Olkoon $S\subset \mathbb {R}$ ja $e\in \mathbb {R}$. Tällöin $e=\inf(S)$ jos ja vain jos

1) $e$ on joukon $S$ alaraja. Siis $x\geq e$ kaikilla $x\in S$.

2) Kaikille $\varepsilon >0$ on olemassa jokin $x\in S$, jolle $x<e+\varepsilon$.

Infimum voidaan osoittaa jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:

a) Jos joukossa $S$ näyttäisi olevan pienin alkio $e$, osoitetaan kohdat:

1) $e\in S$.

2) $x\geq e$ kaikilla $x\in S$.

Tällöin $e=\min(S)=\inf(S)$.

b) Jos joukko $S$ on alhaalta rajoitettu, mutta joukossa ei ole pienintä alkiota, osoitetaan kohdat:

1) $x\geq e$ kaikille $x\in S$, jolloin $e$ on $S$:n eräs alaraja.

2) $e+\varepsilon$ ei ole $S$:n alaraja vaikka $\varepsilon >0$ valittaisiin miten pieneksi. Siis $e$:n on oltava alarajoista suurin.

Tällöin $e=\inf(S)$.

c) Osoitetaan, että joukko ei ole alhaalta rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen pieniä lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa pienempiä lukuja.

Esimerkkejä

• $\inf([0,1])=0,\min([0,1])=0$
• $\inf(]0,1[)=0,$ mutta $\min(]0,1[)$ ei ole olemassa.
• $\inf\{1,2,3\}=1,\min\{1,2,3\}=1$
• $\inf\{2-1/n|n\in \mathbb {N} \}=1,$ mutta $\min\{2-1/n|n\in \mathbb {N} \}$ ei ole olemassa, koska luku $1$ ei sisälly joukkoon.
• $\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=0\,$

• Luonnollisten lukujen joukolla $\mathbb {N}$ ei ole ylärajaa, sillä joukolla $\mathbb {N}$ ei ole suurinta alkiota eikä joukko $\mathbb {N}$ siis ole ylhäältä rajoitettu. Joukolla $\mathbb {N}$ on kuitenkin alaraja: nolla. Siis $\mathbb {N}$ on alhaalta rajoitettu ja luonnollisten lukujen joukolla $\mathbb {N}$ on siis infimum. Merkitään inf($\mathbb {N}$) = 0.

Katso myös

• Limes inferior Jonon äärettömän kaukana olevien alkioiden infimum
• Oleellinen infimum Joukon suppeimman positiivismittaisen osajoukon infimum
• Supremum Joukon pienin yläraja

Lähteet

• Apostol, Tom. M.: Mathematical analysis. Addison-Wesley publishing company. 3. edition. London, England, 1960, 7–8.
• Hurri-Syrjänen, Ritva. Differentiaali- ja integraalilaskenta, Luentomonisteet. Helsingin yliopisto, Syksy 1999, 11–14.
• Huuskonen, Taneli. Analyysin peruskurssi: Supremum ja infimum. Luentomoniste-pdf. Helsingin yliopisto. Helsinki, 2006.^{[vanhentunut linkki]}
• Myrberg, Lauri. Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1. 3 painos. Yhteiskirjapaino Oy, Helsinki, 1981, 17–20, 24–26.
• http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/anper1.pdf/^{[vanhentunut linkki]}
• https://matta.hut.fi/matta2/mtreeni1/ag/ag002.pdf

Aiheesta muualla

• MathWorld. Infimum