Frame-dragging

Frame-dragging-a espazio denboran gertatzen den erlatibitate orokorreko efektu bat da. Masadun gorputzek beraien inguruko espazio-denbora kurbatzen dute, baina gorputz horiek biratzen badaude, espazio-denboraren arraste bat sortuko dute biraketaren noranzko berean^[1].

Framme-dragging-aren ondorioz sortutako biraketaren ilustrazio bat.

Efektua Albert Einsteinen erlatibitate orokorreko teoriatik ondorioztatu zuten 1918. urtean John Lense eta Hans Tirring zientzialari austriarrek.^[2]^[3]^[4]

Efektu hau oso ahula izango da zeruko objektu gehienetan, masaren ondorioko kurbadurarekin alderatzen badugu. Frame-dragginga neurtzeko masa handiak, biraketa handiak edo zehaztasun handiko tresneria behar dira. Horregatik izan da aztertua, lurraren inguruko sateliteekin eta gorputz astrofisiko bitxietan, neutroi-izarretan eta zulo beltz birakorretan, adibidez.

Eragin Fisikoak

Aurretik esan dugun bezala Frame-dragging-a ez da soilik fenomeno bat, izan ere, neurgarriak diren efektuak eragingo ditu.

Frame dragging-aren ondoriorik ezagunena Lense-Thirring efektua da, izan ere, efektu honekin ondorioztatu zuten Frame-dragging-a. Efektu honen ondorioz, biratzen duen gorputz masibo batek, honen inguruko gorputzen orbitan prezesio bat sortzen du. Hau da, frame-dragginga gauzatzen den espazioko gune batean giroskopio bat kokatzen badugu, honen biraketa-ardatza aldatu egingo da, orbitatzen duen masaren biraketaren noranzko berean. Hau da, giroskopio batek norabide finko bat zehazten du espazioan eta frame-dragging-ak norabidea bera arrastatzen du. Ondorioz, urrutiko behatzaile batek, giroskopioa biratzen ikusiko du, biratzen duen masa bat orbitatzen duelako.

Fenomeno honen beste ondorio bat, argiaren abiaduraren aldaketa dugu. Demagun argi izpi bi bidaltzen direla biraka ari den masaren inguruan, bat masaren biraketaren aldera eta bestea aurkako noranzkoan, argi izpiak ez dute denbora bera iraungo. Masaren biraketak espazio denbora asimetriko bat sortzen du, eta ondorioz errotazioaren noranzko berean bidali den argi izpiak denbora gutxiago behar izango du. Efektu honi Sagnac efektua deritzo eta argi izpien ibilbidearen asimetria bezala uler daiteke. Fenomeno honekin, ZAMO-ak, (“Zero Angular Momentum Observer” edo lokalki errotazioa nabaritzen ez duen behatzailea), definitzen dira. Behatzaile berezi hauek, ez dute Sagnac efektua nabaritzen, hau da, aurkako noranzkoan bidalitako argi izpiak berdina irauten dutela neurtzen dute. Baina, oso urruti dagoen behatzaile batek, ZAMO hauek ere biratzen ikusiko ditu, horrekin ondorioztatzen da, errotatzen duen masak, geldik egotearen definizioa ere, lokalki, espazio denborarekin batera arrastatu duela.^[5]

Bestalde, fenomeno honek askotan gaizki-ulertu nagusi bat izaten du. Nahiz eta askotan uretan gertatzen den zurrunbilo bat bezala ulertu, honek ez du ondo adierazten benetako efektua. Espazioa ez da, fluido likatsu bat bezalakoa, ez du gorputzik arrastatzen, Frame-dragging-ak soilik geldik egotearen definizioa edo idea aldatzen du beste behatzaileekiko.^[5]

Egiaztapen Esperimentalak

Frame-dragging-aren eta Lense-Thirring efektuen teorien garapenearen ondoren, esperimentalki neurtzea da hurrengo urratsa. Oztopo handiena da efektu hauek Lurrean oso ahulak direla eta, eta horretarako zehaztasun handiko satélite geodesikoak erabili dira.

Lehenengo saiakera LAGEOS (“LAser GEOdynamics Satellite”) bezalako satelite bitartez egin zen. [6][7][8] Hauek laser interferometriaz edo SLR teknika erabiltzen zuten. 1977-1978 urteetan egin ziren lehen neurketak eta, azkenak 2006-an, baina, lortutako emaitzak ez ziren guztiz onartuak izan hauen zehaztasunaren ondorioz.^[6]

Ondoren, NASA-k Gravity Probe B (GP-B) satelitea 2004ean orbitan jarri zuen^[7]^[8], aurrekoen bide ezberdin batetik helburu berdinetara iristeko. Kasu honetan, laser interferometriaz baliatu beharrean, Schiff prezesioa, frame dragging-aren beste ondorio fisiko bat neurtzea izango zen GP-B-aren bidea. Misio honek %1eko zehaztasuna lortzea espero zen, azkenean, nahiz eta lortu zen errorerik txikiena %19koa izan, Einsteinen teoriak aurresandako balioa konfiantza tartearen zentroan zegoen.^[9]^[10]

Zehaztasuna handitzeaz gain, frame-dragging-a neurtzeko beste bide bat, eguzkia baino masa birakari handiagoen eragina aztertzea da. Teoriaren arabera zulo beltzen inguruan orbitatzen duten izarrak prezesio bat jasango dute beraien orbitan. 2020ean ondorioztatu zen gure esne-bidearen zentruko Sagittarius A*, zulo beltz supermasibora egindako behaketak bat zetozela teoriarekin.^[11]

Azkenik, Lense-Thirring efektua baita behatua izan zen PSR J1141-6545 sisteman. Nano zuri eta pulsar batek osatzen duten sistema binario bat da. Nano txuriaren biraketaren ondorioz, pulsarraren orbitaren inklinazioan izandako aldaketen bidez, Lense-Thirring efektua neurtu zen.^[12]

Garapen Matematikoa

Lehenik eta behin, biraketa duten masak deskribatzeko erabili beharreko metrika, Kerr-en metrika da^[13]. Metrika hau (Boyer-Lindquist koordenatuetan adieraziz gero):

${\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}={}&\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}\\&-\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha c\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}d\phi \,dt.\end{aligned}}$

$r_{s}$ Schwarzschild-en erradioa da, $M$ errotatzen duen masarekin erlazionatuta dagoena:

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

$\alpha$ -k objektuaren errotazioa finkatzen du, eta $\rho$ eta $\Delta$ parametroek metrika era laburrago batean idazteko erabiltzen dira, ( $J$ momentu angeluarra izanik):

$\alpha ={\frac {J}{Mc}}$

$\rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta$

$\Delta =r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}$

Metrika honetan gai gurutzatu bat dago, hau da, $dt\,d\phi$ ez da nulua. Horrek esan nahi du $t$ denboraren koordenatua eta $\phi$ koordenatu angeluar azimutala ez direla independenteak. Hau da, metrikan, diagonalean ez dagoen osagai bat dagoela:

$g_{t\phi }\neq 0$

Fisikoki, osagai honek denboraren eta biraketaren arteko akoplamendua adierazten du. Ondorioz, biratzen ari den masak inguruko edozein erreferentzia-sistema arrastatzen du. Hau da, hain zuzen ere, frame-dragging efektuaren jatorri geometrikoa.

Aurretik idatzitako metrika era orokorrago batean adieraz daiteke:

$ds^{2}=g_{tt}\,dt^{2}+g_{rr}\,dr^{2}+g_{\theta \theta }\,d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\,d\phi ^{2}+2g_{t\phi }\,dt\,d\phi .$

Era honetara idatzita, $dt\,d\phi$ gai gurutzatua da frame dragging-aren jatorri geometrikoa. Gai hori agertzeak esan nahi du denboran aurrera egitea eta koordenatu angeluarrean mugitzea ez direla guztiz independenteak Kerr espazio-denboran.

Interpretazio hori argiago ikusteko, metrikaren $t$ eta $\phi$ koordenatuei dagozkien gaiak berridatz daitezke:

$ds^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}.$

Azken parentesiak erakusten du koordenatu angeluarrean dagoen aldaketa ez dela soilik $d\phi$ -ren araberakoa, horrez gain, denboran aurrera egiteak ere ekarpen angeluarra du. Horregatik, espazio-denboraren arrastatzeari lotutako abiadura angeluar lokala honela definitzen da:

$\Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}$

$\Omega$ -k tokiko arraste-abiadura definitzen du. Honen ondorioz, Kerr espazio-denboran behatzaile inertzial lokalak ez dira urruneko izarrekiko pausagunean egongo. Orbitatzen duten masaren biraketaren ondorioz, koordenatu angeluarrean arrastea nabarituko dute, urruneko behatzaile batentzat biraketa bezala ikusiko dena.

Schwarzschild metrikaren kasuan, $g_{t\phi }=0$ denez, $\Omega =0$ da eta ez dago frame-dragging efekturik. Kerr-en kasuan, ordea, $g_{t\phi }\neq 0$ denez, $\Omega$ ez da nulua, eta horrek erakusten du biraketak espazio-denboraren egitura bera aldatzen duela.

Kerr-en zulo beltzak eta ergosfera

Aurretik esan dugun bezala, frame-dragging efektua esanguratsua izateko masa birakari oso handiak behar dira, eta honen kasu nabarmenena Kerr-en zulo beltzak dira, zulo beltz birakariak baitira.

Kerr-en zulo beltzetan bi gainazal berezi daitezke: gertaeren horizontea eta ergosfera, lehena zulo beltz ororen ezaugarri bat da eta bigarrena ez, frame-dragging-arekin zuzenean lotuta baitago.

Gertaeren horizontea bezala definitzen den gainazala, $\Delta =0$ baldintzatik lortzen da, lehen definitu dugunez:

$\Delta =r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}$

hau zerorekin berdinduz lortzen dena hurrengoa da:

$r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}=0$

Eta bigarren mailako ekuazioa ebatziz, Kerr-en zulo beltzaren horizontea lortzen da:

$r_{+}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}$

Horizonte honetatik, ezinezkoa da ihes egitea, argiaren abiadura gainditu beharko litzatekelako.

Hala ere, frame-dragging-ari dagokionez ergosfera interesgarriagoa da. Gainazal hau ez da aurrekoaren baldintza beretik lortzen, kasu honetan, metrikaren denboraren araberako osagaia nulua denerako kasua aztertzen da:

$g_{tt}=1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}g_{tt}=0$

aurretik definitutako

$\rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta$

ordezkatuz, lortzen den baldintza edo ekuazioa:

$r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta =0$

Eta hemendik, ergosferaren erradioa lor dezakegu:

Ergosferaren eta gertaeren horizonte bien diagrama bat. Ekuatorean ergosferaren erradio maximoa eta poloetan minimoa.

$r_{\mathrm {erg} }={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}$

Gertaera horizontearekin alderatuz gero, ergosferaren erradioa $\theta$ angeluaren araberakoa dela ikusten da, hau da, ez dela esferikoki simetrikoa. Ekuatorearen inguruan zabalagoa izanez, eta poloetan gertaera horizontearekin bat etorriz, irudian ikus daitekeen bezala.

Frame-dragging-aren ondorioz, behatzaile inertzial lokalek ezin dute guztiz pausagunean egon urruneko behatzaile batekiko, baina ergosferatik kanpo behatzaile inertzial batentzako posiblea da hori lortzea.

Ergosferaren barnean hau aldatu egiten da, metrikaren $g_{tt}$ osagaia negatiboa bilakatzen delako. Horren zergatia frogatuko dugu:

Pausagunean dagoen behatzaile batek, koordenatu espazial konstanteak ditu:

$dr=d\theta =d\phi =0$

Hau, aurretik adierazitako Kerr-en metrikan ordezkatuz, soilik denboraren menpe gelditzen da:

$ds^{2}=g_{tt}dt^{2}$

Eta ergosfera barruan esan dugu, $g_{tt}$ negatiboa dela, ondorioz:

$ds^{2}<0$

Eta hau ezinezkoa da edozein masadun partikularentzat. Ondorioz, hasieran onartu dugun baldintza ezinezkoa da. Ergosferan behatzaile orok, inertzial zein ez inertzial, biraketa bat izango du urrutiko kanpo behatzaile batekiko frame-dragging-aren ondorioz.