Matrizes

O que são matrizes?

De forma mais rigorosa, podemos definir matrizes como um conjunto de números dispostos em uma quantidade m de linhas e n de colunas, podendo ser escrita com a seguinte simbologia:

Simbologia para matrizes

A_{m x n}
a_ij
A = Uma matriz qualquer
m = Quantidade de linhas
n = Quantidade de colunas
a = Um elemento qualquer dessa matriz
i = Linha onde se localiza um elemento
j = Coluna onde se localiza o elemento

Classificação das matrizes

• Matriz linha
• Matriz coluna
• Matriz quadrada
• Matriz nula
• Matriz identidade

Matriz linha

Conceito

Chamamos de "matriz linha" qualquer matriz que tenha uma única linha. Ou seja, que possamos escrever ela da seguinte forma:

A_{1 x n}

Com essa escrita, simbolizamos uma matriz qualquer que tenha uma única linha com n colunas.

Exemplos

Matriz coluna

Conceito

Se a matriz linha era uma matriz com uma única linha e uma quantidade n de colunas, a matriz coluna é uma matriz com uma única coluna e uma quantidade m de linhas, podendo ser escrita da seguinte forma:

A_{m x 1}

Assim simbolizamos uma matriz de m linhas que possuí uma uma única coluna

Exemplos

Matriz quadrada

Conceito

O conceito de matriz "quadrada" não está tão distante do quadrado que você conhece da geometria... Ela recebe esse nome pois representa matrizes com a mesma quantidade de linhas e colunas. Podemos simbolizar as matrizes quadradas dessa forma:

A_{n x n}

Com essa simbologia, dizemos que a quantidade de linhas é igual a quantidade de colunas, por isso usamos a mesma letra no lugar da quantidade de linhas e colunas.

Exemplos

Diagonal principal e secundária

Em matrizes quadradas temos o conceito de diagonais principais e secundarias, que como o nome já diz, são as diagonais da matriz.

No exemplo a seguir, marquei a diagonal principal de vermelho e a diagonal secundária de verde.

Nesse caso, poderíamos dizer que a diagonal principal é {2 1 -1} enquanto a diagonal secundária é {1 1 12}

Matriz nula

Conceito

Matriz nula é aquela que possui todos os elementos dela iguais a zero. Sim, é só isso. Aqui não importa a quantidade de linhas, colunas, partido político e nem tipo sanguíneo.

Nesse caso a simbologia dela não importa pois pode ter qualquer quantidade de linhas e colunas.

Exemplos

Lembrete

Quando eu digo que a quantidade de linhas e colunas não importa, estou me referindo a uma situação em que queremos saber se ela é uma matriz nula ou não, ou seja, podemos ter uma matriz que é quadrada e nula, por exemplo. Nesse caso a quantidade de linhas e colunas ainda importam pra afirmar que ela é quadrada, mas não pra afirmar que ela é nula.

Matriz identidade

Conceito

Chamamos de matriz identidade uma matriz cuja diagonal principal é composta inteiramente por 1, e todo o resto é 0. Note que a diagonal principal é importante para definir uma matriz identidade, o que significa que todas as matrizes identidade são quadradas (porque só as quadradas tem diagonais principal e secundária 😉)

Exemplos

Traço da matriz

Chamamos de "traço de uma matriz" a soma de todos os elementos que estão na sua diagonal principal. Podemos simbolizar isso da seguinte forma:

tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + ... + a_nn

Exemplo

Lei de formação de uma matriz

Podemos definir a lei de formação das matrizes como uma lei que relaciona os índices (posição) dos elementos com o seu valor.

Por exemplo, se temos uma matriz A_{2 x 2} com a lei seguinte lei de formação:

a_ij = i + 2j

Podemos descobrir qualquer posição dessa matriz com essa lei de formação, inclusive mapear a matriz inteira, uma vez que todos os elementos respeitem essa lei.

No exemplo acima, podemos descobrir como ficaria a matriz assim:

Se ainda não ficou claro, lembre-se que cada posição na matriz está em uma linha i e uma coluna j. Tudo que a lei de formação faz é relacionar o valor que vai ficar naquela posição com essas posições.

Pra "fazer a conta" bastaria substituir os valores de i e j para a posição desejada na lei de formação.

Por exemplo, na posição a₁₂ estamos procurando um elemento na primeira linha e segunda coluna, ou seja:

• i = 1
• j = 2

Portanto se substituirmos na lei de formação, chegamos nessa conta aqui:

a₁₂ = 1 + 2 . 2

Portanto: a₁₂ = 5

Igualdade entre matrizes

Podemos dizer que duas matrizes são iguais quando elas tem a mesma quantidade de linhas, colunas, e todos os elementos são iguais (tanto em valor quanto em posição).

Operações entre matrizes

• Adição
• Subtração
• Produto entre um número e uma matriz
• Produto entre matrizes

Adição e subtração

A soma e subtração de matrizes é bem simples, e se faz literalmente somando ou subtraindo um elemento em uma posição de uma matriz

Exemplo

Produto entre um número e uma matriz

O produto entre um número e uma matriz de ordem qualquer (também chamado por produto de uma matriz por um escalar) é calculado simplesmente multiplicando cada posição da matriz pelo valor.

Exemplo

Produto entre matrizes

Para entender o produto entre matrizes, precisamos entender a motivação inicial da criação da teoria das matrizes, que era resolver sistemas lineares.

Observe o seguinte sistema genérico:

ax + by = K
cx + dy = J

Agora observe a notação matricial desse sistema genérico (a escrita dele na forma de matriz)

Dessa forma, para que a notação continue fazendo sentido para o propósito que foi criada, vamos multiplicar cada linha da primeira matriz com cada coluna da segunda matriz, dessa forma:

Com esse exemplo genérico, é possível concluir que nem toda matriz que você tentar multiplicar vai ter um resultado, elas precisam cumprir com alguns requisitos antes disso, para que sejam compatíveis com a multiplicação. Sendo esses requisitos que a quantidade de colunas da primeira matriz deve ser compatível com a quantidade de linhas da segunda matriz.

Exemplo

O exemplo acima se fosse escrito como sistema seria dessa forma:

1.3 + 4.2 = 11
9.3 + 3.2 = 33

Propriedades da multiplicação de matrizes

• Associativa
• Distributiva
• Não comutativa

Associativa

Dada uma sequência de multiplicações de matrizes, a ordem que você vai resolver elas não importa (não significa que você pode trocar elas de lugar)

Dadas as matrizes A_{m x n}, B_{n x p} e C_{p x q}, podemos afirmar que:

A . B . C = A . (B . C) = (A . B) . C

Distributiva

Essa propriedade diz que você pode fazer algo semelhante a "colocar em evidência" também com a multiplicação de matrizes, desde que você respeite a ordem das multiplicações (próxima propriedade)

Dadas as matrizes A_{m x n}, B_{m x n} e C_{n x p}, podemos afirmar que:

(A + B) . C = A . C + B . C

Não comutativa

Essa propriedade representa o que foi reforçado na descrição das propriedades anteriores, que a ordem de "qual vai multiplicar por qual" importa no contexto de matrizes.

Dadas quaisquer matrizes que seja possível fazer uma multiplicação entre elas, podemos afirmar que:

A . B ≠ B . A

Tipos de matrizes

Agora que vimos as operações com matrizes e algumas de suas propriedades, podemos conhecer algumas matrizes que tem características interessantes relacionadas a essas propriedades.

• Matriz identidade
• Matriz transposta
• Matriz simétrica
• Matriz antissimétrica
• Matriz inversa

Matriz identidade (sim, denovo)

Você já sabe que a matriz identidade tem a diagonal principal preenchida com "1" e todo o resto com "0". O motivo de a matriz identidade aparecer aqui mais uma vez é que ela é uma matriz considerada como elemento neutro em uma multiplicação entre matrizes, ou seja, qualquer matriz multiplicada por uma identidade é igual a ela mesma, consequentemente essa é uma exceção em que a comutativa acaba funcionando meio que sem querer 😅.

Podemos afirmar que para uma matriz quadrada qualquer A_{n x n} temos que:

A . I_n = I_n . A = A

Matriz transposta

Dada uma matriz qualquer, para descobrir sua transposta basta transformar todas as linhas em colunas, e vice versa.

É como se a matriz girasse em torno do que seria a diagonal principal dela (e eu digo "seria" porque é possível obter uma transposta de uma matriz não quadrada, e o conceito de "diagonal" só existe nas matrizes quadradas).

Observe o exemplo a seguir:

Propriedades de uma transposta

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• (A . B)^t = B^t . A^t
• ∀ k ∈ R, (k . A)^t = k . A^t

Não se assuste com esse último...

Caso você não tenha entendido o que essa última propriedade quer dizer, ela só diz que para qualquer número dentro do conjunto dos reais, se você multiplicar uma matriz por um número e depois pegar a transposta do resultado, vai dar o mesmo resultado de se você tivesse pegado a transposta da matriz antes de multiplicar.

Matriz simétrica

Podemos dizer que uma matriz simétrica qualquer matriz quadrada que a transposta seja igual a ela mesma, como no exemplo abaixo:

Matriz antissimétrica

Ao contrário do que você pode estar imaginando agora, a matriz antissimétrica não é simplesmente uma matriz "não-simétrica", na verdade visualmente ela é até que parecida com uma matriz simétrica, mas com um pequeno detalhe.

Quando você pega a transposta de uma matriz antissimétrica, é como se você invertesse os sinais de todos os elementos da matriz.

Porém pra única diferença da transposta ser o sinal dos elementos, precisamos que ela tenha a mesma quantidade de linhas e colunas (ou seja, que ela seja quadrada).

Além disso, lembra que quando nós vimos a matriz transposta, percebemos que a diagonal não mudava? Se a diagonal não muda, então não podemos dizer que o sinal dela vai mudar. Ou seja, precisamos de um número que não esteja sujeito a alterações de sinal, como por exemplo, o número zero.

Podemos ter como exemplo a seguinte matriz antissimétrica:

Vendo de outra forma...

Outra forma de interpretar a matriz antissimétrica com base no que você entendeu sobre a matriz simétrica, é pensar que se na matriz simétrica nós podíamos dizer que:

A^t = A

Na matriz antissimétrica dizemos que:

A^t = -A

Talvez com essa outra visão fique mais claro o porque do nome "antissimétrica"

Matriz inversa

Você sabe qual é o inverso de 2?

Se você respondeu -2, o seu pensamento está quase certo, porém na matemática as palavras "oposto" e "inverso" tem significados significantemente diferentes.

Quando dizemos o oposto de um número, estamos nos referindo a ele com o sinal oposto, ou seja:

O oposto de 2 é -2

Quando dizemos o inverso de um número, estamos nos referindo a um número cujo produto dele pelo seu inverso, resulta em um elemento neutro, ou seja:

O inverso de 2 é ½

De modo simplificado, podemos dizer que o termo "oposto" esta relacionado com soma e o termo "inverso" com multiplicação.

Se você analisar, vai notar que ambos estão relacionados ao elemento neutro

O que é "elemento neutro"?

Elemento neutro é um elemento que não faz diferença em uma operação, por exemplo:

2 + 0 = 2
4 + 0 = 4
5 + 0 + 0 + 0 + 0 = 5

Perceba que não importa o quanto nós somamos, o zero não faz diferença nenhuma no resultado da operação de soma.
Pois é, por conta disso nós dizemos que o zero é um elemento neutro na operação de soma.
Mas o conceito de elemento neutro também se aplica a multiplicações, só que ele não pode ser zero, pois o zero altera o resultado de uma multiplicação.
Então o que seria um elemento neutro em uma multiplicação? Simples, o número 1, observe:

2 . 1 = 2
4 . 1 = 4
5 . 1 . 1 . 1 . 1 = 5

Assim como o zero não altera somas, o um não altera multiplicações, por isso chamamos esses números de elementos neutros para essas operações.

• "Zero" é elemento neutro de somas
• "Um" é elemento neutro de multiplicações

Certo, mas como relacionamos o elemento neutro com os conceitos de números opostos e inversos?

Podemos dizer que -2 é o oposto de 2 porque se nós somarmos os dois valores, vamos obter o elemento neutro de uma soma.

-2 + 2 = 0

Um conceito semelhante pode ser aplicado na multiplicação.

Podemos dizer que ½ é o inverso de 2 porque se nós multiplicarmos os dois valores, vamos obter o elemento neutro de uma multiplicação

Voltando para matrizes...

Nas matrizes, podemos dizer que uma matriz A é inversa de uma matriz B se a multiplicação de A . B resultar no elemento neutro de uma multiplicação de matrizes.

Você lembra qual é o elemento neutro da multiplicação de matrizes? Ela foi mencionada umas duas vezes aqui já...

Sim, como já mencionado antes, o elemento neutro de uma multiplicação de matrizes é a matriz identidade.

Ou seja, se dizemos que um número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1, que é o elemento neutro de uma multiplicação, podemos dizer também que uma matriz multiplicada pelo seu inverso resulta em uma matriz identidade, que é o elemento neutro da operação de multiplicação de matrizes.

Certo, entendemos o que são as matrizes inversas, mas como descobrir elas?

Bom, para é só ter em mente que você vai multiplicar a matriz que você quer descobrir a inversa por uma matriz que você não sabe qual é, ou seja, preenchendo ela com incógnitas que você vai descobrir quais são depois.

Depois de terminar a multiplicação, cada posição da matriz vai ter uma equação que você sabe a resposta que deve dar (o necessário pra matriz resultante ser uma matriz identidade).

Exemplo

Se você entendeu todo o processo mas ficou com dúvida em como aquelas equações chegaram na matriz resultante (como resolver elas), sua dúvida não é sobre matrizes, mas sim sobre a resolução de sistemas. O que importa por agora é que você entenda todo o processo e, caso necessário, consiga calcular matrizes inversas depois de revisar a resolução de sistemas.

Obrigado!

Muito obrigado por ter acompanhado até aqui, espero muito que esse conteúdo tenha te ajudado de alguma forma.

Qualquer dúvida, sugestão ou correção que você tiver, não deixe de colocar nos comentários! Esse material está sujeito a melhorias, então as sugestões serão muito bem vindas! Ou então talvez alguma dúvida específica que você tenha que eu possa responder complementando esse material... Existem muitas possibilidades, mas não deixe de perguntar!