Tangens

Tangens je goniometrická funkce úhlu. Zapisuje se jako ${\mbox{tg }}\varphi$ ($\tan \varphi$), kde $\varphi$ je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr délek protilehlé a přilehlé odvěsny. Definici lze konzistentně rozšířit z oboru reálných čísel do oboru komplexních čísel.

Tangens v reálném oboru

Jedna perioda funkce tangens

Funkce $y={\mbox{tg }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ má následující vlastnosti (kde $k$ je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb {R} \smallsetminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}$
• Obor hodnot: $\mathbb {R}$ (reálná čísla)
• Rostoucí: v intervalu ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ;{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right)}
• Derivace: $({\mbox{tg }}x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
• Integrál: $\int {\mbox{tg }}x\,\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+c$
• Taylorova řada: ${\mbox{tg }}x\,=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}A_{2n+1}$,

kde $|x|<{\frac {\pi }{2}}$ a $A_{2n+1}$ je tzv. tangentové číslo

• Inverzní funkce: na $\mathbb {R}$ a oborem hodnot ${\displaystyle (-{\frac {1}{2}}\pi$ ;{\frac {1}{2}}\pi )} : Arkus tangens (arctg)
• Grafem funkce je tangentoida
• Tangens doplňkového úhlu: ${\mbox{tg }}({\frac {\pi }{2}}-x)={\mbox{cotg }}x$
• funkce tangens je:
  • lichá
  • neomezená
  • periodická s periodou $\pi$

Tangens v komplexním oboru

Pro komplexní číslo $z\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$, kde $k\in \mathbb {Z}$, platí:

${\mbox{tg }}z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}{\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}}={\frac {1}{i}}{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}}={\frac {1}{i}}{\frac {e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}}=-i{\frac {e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}}$

Funkce tangens je holomorfní v celém svém definičním oboru, tedy v množině $\mathbb {C} \setminus \left\{{\pi \over 2}+k\pi ;k\in \mathbb {Z} \right\}$.

Tangens na jednotkové kružnici

tg θ na jednotkové kružnici

Graf funkce tangens

Tangens se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem jedna): Je-li v průsečíku jednotkové kružnice s kladnou poloosou $x$ vztyčena tečna k této kružnici (kolmá na osu $x$), je ${\mbox{tg }}\alpha$ rovna $y$-ové souřadnici průsečíku této tečny s přímkou koncového ramene úhlu $\alpha$ s počátečním ramenem v kladné poloose $x$ (orientovaného od kladné poloosy $x$ proti směru hodinových ručiček), jinak řečeno, vzdálenost tohoto průsečíku od osy $x$ se (v absolutní hodnotě) rovná ${\mbox{tg }}\alpha$.

Z geometrické definice je také vidět, že tangens je v prvním a třetím kvadrantu nezáporná ($\geq 0$), ve druhém a čtvrtém nekladná ($\leq 0$) a pro úhly ${\frac {\pi }{2}}$ a ${\frac {3\pi }{2}}$ není definován, protože průsečík s tečnou neexistuje.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem $\alpha +k\cdot \pi$ v úhlové míře resp. $\alpha +k\cdot 180^{\circ }$ v míře stupňové, kde $k$ je celé číslo. Tangens lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel.

Související články

• Tangentová věta
• Kotangens
• Sinus
• Kosinus
• Trigonometrie
• Goniometrie
• Goniometrické funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tangens na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo tangens ve Wikislovníku

Portály: Matematika