Impedància

La impedància és una mesura de la manera i el grau en què un circuit elèctric resisteix el flux del corrent elèctric si s'hi aplica un determinat voltatge. El seu símbol és Z i es mesura en ohms.

Impedància

Unitats	ohm i kilogram square metre per cubic second square ampere (en)
Fórmula	${\underline {Z}}={\underline {U}}/{\underline {I}}$ ${\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X$

Història

Potser el primer ús de nombres complexos en l'anàlisi de circuits va ser per Johann Victor Wietlisbach el 1879 en l'anàlisi del pont de Maxwell. Wietlisbach va evitar utilitzar equacions diferencials expressant corrents i tensions de CA com a funcions exponencials amb exponents imaginaris. Wietlisbach va trobar que el voltatge requerit es donava multiplicant el corrent per un nombre complex (impedància), encara que no ho va identificar com un paràmetre general per dret propi.

El terme impedància va ser encunyat per Oliver Heaviside el juliol de 1886. Heaviside va reconèixer que l'operador de resistència (impedància) en el seu càlcul operacional era un nombre complex. El 1887 va demostrar que hi havia una CA equivalent a la llei d'Ohm.

Arthur Kennelly va publicar un article influent sobre la impedància el 1893. Kennelly va arribar a una representació de nombres complexos d'una manera força més directa que utilitzant funcions exponencials imaginàries. Kennelly va seguir la representació gràfica de la impedància (mostrant la resistència, la reactància i la impedància com a longituds dels costats d'un triangle rectangle) desenvolupada per John Ambrose Fleming el 1889. D'aquesta manera es podrien afegir impedàncies vectorials. Kennelly es va adonar que aquesta representació gràfica de la impedància era directament anàloga a la representació gràfica de nombres complexos (diagrama d'Argand). Els problemes en el càlcul d'impedància es podrien abordar algebraicament amb una representació de nombres complexos. Més tard aquell mateix any, el treball de Kennelly va ser generalitzat a tots els circuits de CA per Charles Proteus Steinmetz. Steinmetz no només representava les impedàncies mitjançant nombres complexos, sinó també tensions i corrents. A diferència de Kennelly, Steinmetz va ser capaç d'expressar equivalents de corrent altern de lleis de corrent continu com ara les lleis d'Ohm i Kirchhoff. El treball de Steinmetz va tenir una gran influència en la difusió de la tècnica entre els enginyers.

Esquema elèctric de dos receptors en sèrie cadascun amb un valor escalar Z

Definició

Si el voltatge aplicat és constant, els condensadors són aïllants i els inductors actuen com els conductors; la impedància és només a causa de les resistències i és un nombre real igual a la resistència del component R.

Si el voltatge aplicat canvia amb el temps (com en un circuit de corrent altern), llavors el component pot afectar tant a la fase com a l'amplitud del corrent, a causa dels inductors i condensadors del circuit. En aquest cas, la impedància és un nombre complex (això és una manera convenient de descriure l'amplitud i la diferent fase conjuntament en un sol nombre). Està composta de la resistència R, la reactància inductiva X_L i la reactància capacitativa X_C d'acord amb la fórmula

$Z=R+j(X_{L}-X_{C})$

on j és la unitat imaginària, l'arrel quadrada de -1 (${\sqrt {-1}}.$). La reactància inductiva i la reactància capacitativa poden ser agrupades en una única quantitat anomenada reactància, X = X_L - X_C, d'aquesta manera tenim

$Z=R+jX$.

Cal tenir en compte que la reactància depèn de la freqüència f del voltatge aplicat.

Si el voltatge aplicat canvia periòdicament amb una freqüència fixa f, segons una corba sinusoidal, és representada com la part real d'una funció de la forma

$u(t)=ue^{2\pi jft}$

on u és un nombre complex que representa la fase i l'amplitud (vegeu la fórmula d'Euler). Si el corrent es representa de forma anàloga com el valor real d'una funció i(t), llavors la relació entre corrent i voltatge ve donada per

$Z=u(t)/i(t),$

una equació molt similar la Llei d'Ohm.

Si el voltatge no és una corba sinusoïdal de freqüència fixa, llavors primer s'ha de dur a terme una anàlisi de Fourier per trobar els components del senyal en diferents freqüències. Cada un és llavors representat per la part real d'una funció complexa com l'esmentada i dividida per la impedància a la freqüència respectiva. Afegint als camps component del corrent resultant una funció i(t), de la que la part real és el corrent.

La noció d'impedància pot ser útil quan el voltatge/corrent és constant (com en molts de circuits de corrent continu), per tal d'estudiar el que pot passar en l'instant en què el voltatge constant es connecta, o desconnecta: generalment, els inductors causen que el canvi en el corrent sia gradual, mentre els condensadors poden causar grans puntes en el corrent.

Si l'estructura interna d'un component és coneguda, la seva impedància es pot calcular usant les mateixes lleis que s'utilitzen per a les resistències: la impedància total dels subcomponents connectats en sèrie és la suma de la impedància dels subcomponents; el recíproc del total de la impedància dels subcomponents connectats en paral·lel és la suma dels recíprocs de les impedàncies dels subcomponents. Aquestes regles simples són el motiu principal per usar el formalisme dels nombres complexos.

Sovint, per conèixer la magnitud de la impedància n'hi ha prou amb:

$\left|Z\right|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}.$

Això és igual a la proporció entre el voltatge RMS (V_RMS) i el corrent RMS (I_RMS):

$\left|Z\right|=V_{RMS}/I_{RMS}.$

El mot impedància és sovint usat per anomenar aquesta magnitud; sigui com sigui, és important fer això per calcular-la, es calcula com s'ha esmentat i després es pren el resultat. No hi ha regles simples per calcular |Z| directament.

Quan ajuntem components per portar senyals electromagnètics, és important tenir en compte la impedància; el contrari pot donar per resultat la pèrdua del senyal.

Càlcul de circuits amb les impedàncies

El formalisme de les impedàncies consisteix en unes poques regles que permeten calcular circuits que contenen elements resistius, inductius o capacitius de manera similar al càlcul de circuits resistius en corrent continu. Aquestes regles només són vàlides en els següents casos:

• En règim permanent amb corrent altern sinusoidal. És a dir, que tots els generadors de tensió i de corrent són sinusoidals i de la mateixa freqüència, i que tots els fenòmens transitoris (connexions i desconnexions brusques, falles de aislación sobtades, etc.) s'han atenuat i desaparegut completament.
• Si tots els components són lineals. És a dir, components o circuits en els quals l'amplitud (o el valor eficaç) del corrent és estrictament proporcional a la tensió aplicada. S'exclouen els components no lineals com els díodes, bobines amb nuclis de ferro i altres. Per això, si el circuit conté inductàncies o transformadors amb nucli ferromagnètic (que no són lineals), els resultats dels càlculs només podran ser aproximats i això, a condició de respectar la zona de treball de les inductàncies.

Generadors de tensió o de corrent desfasat

Si en un circuit es troben diversos generadors de tensió o de corrent, es tria un d'ells com a generador de referència de fase. Si la veritable tensió del generador de referència és $\scriptstyle {V_{\circ }\cos(\omega t)}$, per al càlcul amb les impedàncies escriurem la seva tensió com $\scriptstyle {V_{\circ }}$. Si la tensió d'un altre generador té un avanç de fase de $\scriptstyle {\alpha }$ respecte al generador de referència i el seu corrent és $\scriptstyle {I_{1}\cos(\omega t+\alpha )}$, per al càlcul amb les impedàncies escriurem el seu corrent com $\scriptstyle {I_{1}e^{j\alpha }}$. L'argument de les tensions i corrents calculades serà el desfasament d'aquestes tensions o corrents respecte al generador pres com a referència.

Lleis de Kirchhoff

Les lleis de Kirchhoff s'apliquen de la mateixa manera: "la suma dels corrents que arriben a un node és zero" i "la suma de totes les tensions al voltant d'una malla és zero". Aquesta vegada, tant els corrents com les tensions, són, en general, complexes.

Generalització de la llei d'Ohm

La tensió entre les extremitats d'una impedància és igual al producte del corrent per la impedància:

$V_{z}=ZI_{z}\,$

Tant la impedància, com el corrent i la tensió són, en general, complexes.

Impedàncies en sèrie o en paral·lel

Les impedàncies es tracten com les resistències amb la llei d'Ohm. La impedància de diverses impedàncies connectades en sèrie és igual a la seva suma:

Sèrie $Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}$

La impedància de diverses impedàncies connectades en paral·lel és igual al recíproc de la suma dels seus recíprocs:

Paral·lel $\textstyle {Z}=\textstyle {1 \over \scriptstyle {{1 \over Z_{1}}+{1 \over Z_{2}}+\cdots +{1 \over Z_{n}}}}$

Interpretació dels resultats

El resultat de corrent és, generalment, un nombre complex. Aquest nombre complex s'interpreta de manera següent:

• El mòdul indica el valor de la tensió o del corrent calculat. Si els valors utilitzats per als generadors eren els valors pico, el resultat també serà un valor pico. Si els valors eren valors eficaços, el resultat també serà un valor eficaç.
• L'argument d'aquest nombre complex dona el desfasament respecte al generador utilitzat com a referència de fase. Si l'argument és positiu la tensió o el corrent calculat estaran en avanç de fase.

Generalització

Quan tots els generadors no tenen la mateixa freqüència o si els senyals no són sinusoidals, el formalisme de les impedàncies no pot aplicar-se directament. S'ha de descompondre el càlcul en diverses etapes en cadascuna de les quals es pot utilitzar el formalisme d'impedàncies.

En el cas de tenir-se elements lineals, es pot utilitzar el teorema de superposició: es fa un càlcul separat per a cadascuna de les freqüències (reemplaçant en cadascun dels càlculs tots els generadors de tensió de freqüència diferent per un curtcircuit i tots els generadors de corrent de freqüència diferent per un circuit obert). Cadascuna de les tensions i corrents totals del circuit serà la suma de cadascuna de les tensions o corrents obtingudes à cadascuna de les freqüències. Per descomptat, per a fer aquestes últimes sumes cal escriure cadascuna de les tensions en la forma real, amb la dependència del temps i el desfasament: $\scriptstyle {V_{i}\cos(\omega _{i}t+\varphi _{i})}$ per a les tensions i les fórmules similars per als corrents.

Si els senyals no són sinusoidals, però són periòdiques i contínues, es poden descompondre els senyals en sèrie de Fourier i utilitzar el teorema de superposició per a separar el càlcul en un càlcul per a cadascuna de les freqüències. El resultat final serà la suma dels resultats per a cadascuna de les freqüències de la descomposició en sèrie.

Origen de les impedàncies

Tractarem d'il·lustrar el sentit físic de la part imaginària j (on s'utilitza aquesta lletra en comptes de i per a evitar confusions amb la intensitat) de les impedàncies calculant, sense utilitzar aquestes, el corrent que circula per un circuit format per una resistència, un inductor i un condensador en sèrie.

El circuit està alimentat amb una tensió sinusoidal i hem esperat prou perquè tots els fenòmens transitoris hagin desaparegut (tenim un règim permanent). Com el sistema és lineal, el corrent del règim permanent serà també sinusoidal i tindrà la mateixa freqüència que la de la font original. L'única cosa que no sabem sobre el corrent és la seva amplitud i el desfasament que pot tenir respecte a la tensió d'alimentació. Així, si la tensió d'alimentació és $\scriptstyle {V=V_{\circ }\cos(\omega t)}$ el corrent serà de la forma $\scriptstyle {I=I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )}$, on $\scriptstyle {\varphi }$ és el desfasament que no coneixem. L'equació a resoldre serà:

$V_{\circ }\cos(\omega t)=V_{R}+V_{L}+V_{C}$

on $\scriptstyle {V_{R}}$, $\scriptstyle {V_{L}}$ i $\scriptstyle {V_{C}}$ són les tensions entre les extremitats de la resistència, la inductància i el condensador, respectivament.

Aplicant la llei d'Ohm a la resistència, resulta:

$V_{R}\,$ = $RI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )$

La definició d'inductància ens diu que:

$V_{L}={d\Phi c \over dt}={dLI \over dt}$

Si L és constant, queda:

$V_{L}=L\textstyle {dI \over dt}=L\textstyle {d\left(I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )\right) \over dt}=-\omega LI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )$.

La definició de capacitància ens diu que:

$I={{dq} \over {dt}}={{d(CV_{C})} \over {dt}}$

Si C és constant:

$I=C\cdot {\frac {dV}{dt}}$

Fent la integral, es pot comprovar que:

$V_{C}=\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )$.

Així, l'equació que cal resoldre és:

$V_{\circ }\cos(\omega t)=RI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )-\omega LI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )+\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )$

Hem de trobar els valors de $\scriptstyle {I_{\circ }}$ i de $\scriptstyle {\varphi }$ que facin que aquesta equació sigui satisfeta per a tots els valors de $\scriptstyle {t}$.

Per a trobar-los, imaginem que alimentem un altre circuit idèntic amb una altra font de tensió sinusoidal l'única diferència de la qual és que comença amb un quart de període de retard. És a dir, que la tensió serà $\scriptstyle {V=V_{\circ }\cos(\omega t-{\pi \over 2})=V_{\circ }\sin(\omega t)}$. De la mateixa manera, la solució també tindrà el mateix retard i el corrent serà: $\scriptstyle {I=I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi -{\pi \over 2})=I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )}$. L'equació d'aquest segon circuit retardat serà:

$V_{\circ }\sin(\omega t)=RI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )+\omega LI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )-\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )$

Hi ha signes que han canviat perquè el cosinus retardat es transforma en si, però el si retardat es transforma en $\textstyle {\mathbf {-} }$cosinus. Ara sumarem les dues equacions després d'haver multiplicat la segona per j. La idea és de poder transformar les expressions de la forma $\scriptstyle {\cos x+j\sin x}$ en $\scriptstyle {e^{jx}}$, utilitzant les fórmules d'Euler. El resultat és:

$V_{\circ }e^{j\omega t}=RI_{\circ }e^{j\left(\omega t+\varphi \right)}+j\omega LI_{\circ }e^{j\left(\omega t+\varphi \right)}+\textstyle {1 \over j\omega C}I_{\circ }e^{j\left(\omega t+\varphi \right)}$

Com $\scriptstyle {e^{j\omega t}}$ és diferent de zero, es pot dividir tota l'equació per aquest factor:

$V_{\circ }=RI_{\circ }e^{j\varphi }+j\omega LI_{\circ }e^{j\varphi }+\textstyle {1 \over j\omega C}I_{\circ }e^{j\varphi }$

es dedueix:

$I_{\circ }e^{j\varphi }=\textstyle {V_{\circ } \over R+j\omega L+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}$

A l'esquerra tenim les dues coses que volíem calcular: l'amplitud del corrent i el seu desfasament. L'amplitud serà igual al mòdul del nombre complex de la dreta i el desfasament serà igual a l'argument del nombre complex de la dreta.
I el terme de la dreta és el resultat del càlcul habitual utilitzant el formalisme d'impedàncies en el qual es tracten les impedàncies de les resistències, condensadors i inductàncies de la mateixa manera que les resistències amb la llei d'Ohm.
Val la pena repetir que quan escrivim:

$I=\textstyle {V_{\circ } \over R+j\omega L+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}$

admetem que la persona que llegeix aquesta fórmula sap interpretar-la i no creurà que el corrent pugui ser complexa o imaginària. La mateixa suposició existeix quan trobem expressions com «alimentem amb una tensió $\scriptstyle {Ve^{j\omega t}}$» o «el corrent és complex»".

Com els senyals són sinusoidals, els factors entre els valors eficaços, màxims, pic a pic o mitjans són fixos. Així que, en el formalisme d'impedàncies, si els valors d'entrada són pic, els resultats també vindran en pic. Igual per a eficaç o altres. Però no cal barrejar-los.

Bibliografia

• Borrego Roncal, Marina; Guasch i Vallcorba, Miquel; Jordán Arias, Jordi. Electrotecnia (en castellà). McGraw-Hill Interamericana, 2006. ISBN 9788448146832. 
• Heaviside, Oliver. Electrical Papers (en anglès). volum II. American Mathematical Society, 2003. Llibre publicat per primer cop amb el títol The Electrician el 23 de juliol de 1886. ISBN 978-0-8218-3465-7. 
• Kline, Ronald R. Steinmetz: Engineer and Socialist (en anglès). Johns Hopkins University Press, 1992. ISBN 978-0-8018-4298-6.