inverse de la courbe 
par rapport à O (cercle d'inversion 
).
En coordonnées cartésiennes :
,
inverse de la courbe 
.| courbe suivante | courbe précédente | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
INVERSE D'UNE COURBE PAR RAPPORT À UN POINT
Inverse
of a curve with respect to a point, Inverse einer Kurve durch einen
Punkt
| Notion étudiée par Steiner en 1824. |
| Équation polaire :
inverse de la courbe
par rapport à O (cercle d'inversion ).
En coordonnées cartésiennes : ,
inverse de la courbe . |
L'inverse d'une courbe par rapport à un point est l'image de cette courbe par une inversion de pôle le point considéré.
L�inverse d�une courbe algébrique de degré
n,
admettant les points cycliques comme points d�ordre p, par rapport
à un pôle d�inversion d�ordre q (pour la courbe de
départ), est une courbe de degré 2n � 2p �
q,
admettant les points cycliques comme points d�ordre n � p
� q et le pôle comme point d�ordre n � 2p.
|
L'inversion dans le plan de centre O et de rayon a peut être réalisée par la composition des trois transformations de l'espace suivantes : 1) la projection centrale de centre N(0, 0, a) sur la sphère de centre O et de rayon a :  (courbe
bleue �> courbe rouge ci-contre).
2) la réflexion de base xOy : 
(courbe rouge �> courbe noire
ci-contre).
3) la projection centrale de centre N(0, 0, a) sur le plan xOy : 
(courbe noire �> courbe verte
ci-contre). |
 |
Exemples :
| courbe de
départ |
centre d�inversion (position par rapport à la courbe de départ) | centre d'inversion (position par rapport à la courbe inverse) | courbe inverse |
| droite | hors de la droite | sur le cercle | cercle |
| cercle | hors du cercle | hors du cercle | cercle |
| conique | sur la conique | point singulier | cubique circulaire rationnelle (droite si le pôle est en un sommet de la conique) |
| hyperbole | sur l'hyperbole | point double | cubique circulaire à point double |
| hyperbole équilatère | sur l�hyperbole | point double | strophoïde (droite si le pôle est en un sommet de l�hyperbole) |
| hyperbole d'excentricité 2 | sommet | point double | trisectrice de Maclaurin |
| parabole | sur la parabole | point de rebroussement | cissoïde (droite si le pôle est en un sommet de la parabole) |
| ellipse | sur l'ellipse | point isolé | cubique circulaire rationnelle à point isolé (dont la visiera) |
| conique non circulaire | hors de la conique | point singulier réel | quartique bicirculaire rationnelle |
| conique non circulaire | foyer | pôle | limaçon de Pascal |
| parabole | foyer | point de rebroussement | cardioïde |
| conique à centre | centre | centre | courbe de Booth |
| hyperbole équilatère | centre | centre | lemniscate de Bernoulli |
spirale
sinusoïdale |
pôle | pôle | spirale sinusoïdale  |
cubique
de Tschirnhausen |
foyer | sommet de la boucle | sextique
de Cayley
 |
| rosace | centre | centre | épi |
| limaçon
trisecteur
(qui est une rosace) |
sommet de la boucle intérieure | point double | trisectrice
de Maclaurin
(qui est un épi) |
| noeud | centre | centre | même noeud (avec rotation) |
| lemniscate de Bernoulli | foyer | ? | limaçon de Pascal à point double à tangentes perpendiculaires |
| lemniscate de Bernoulli | sur la courbe | ? | strophoïde |
| folium simple | sommet "pointu" | point isolé | cubique duplicatrice |
| campyle d'Eudoxe | centre | centre | oeuf double |
Voir aussi les courbes
anallagmatiques, qui sont auto-inverses.
| courbe suivante | courbe précédente | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
© Robert FERRÉOL 2019